Question

СРОЧНО Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у=х^3–х, у=0, х=−1, х=2.Нужно развернутое обьяснение

Answer 1

Cм. графики на фото.

Нужно найти площадь закрашеной фигуры, её можно найти как сумму площадей фигур S₁,S₂,S₃:

$></p> <p></p> <p><img src=$

Answer 2

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций y = x^3 - x, y = 0, x = -1 и x = 2, мы можем воспользоваться интегралом.

1. Сначала найдем точки пересечения графиков. Поставим уравнение x^3 - x = 0 и решим его:

   x^3 - x = 0 x(x^2 - 1) = 0 x(x - 1)(x + 1) = 0

   Таким образом, точки пересечения графиков будут x = -1, x = 0 и x = 1.

2. Теперь определим верхнюю и нижнюю функции на заданном интервале [-1, 2]. Нижней функцией будет y = 0 (ось x), а верхней функцией будет y = x^3 - x.

3. Запишем уравнание для площади криволинейной трапеции между двумя вертикальными линиями x = a и x = b:

   S = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

   Где a = -1 и b = 2 в данном случае.

4. Подставляем значения в интеграл:

   S = ∫[-1, 2] ((x^3 - x) - 0) dx S = ∫[-1, 2] (x^3 - x) dx

5. Рассчитаем интеграл:

   S = [1/4 * x^4 - 1/2 * x^2] from -1 to 2 S = (1/4 * 2^4 - 1/2 * 2^2) - (1/4 * (-1)^4 - 1/2 * (-1)^2) S = (16/4 - 4/2) - (1/4 - 1/2) S = (4 - 2) - (1/4 - 1/2) S = 2 - (-1/4) S = 2 + 1/4 S = 2.25

Таким образом, площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y = x^3 - x, y = 0, x = -1 и x = 2 равна 2.25 квадратных единиц.