Question

ПОМОГИТЕ ПЖ СРОЧНО РЕШИТЬ.Найдите наименьшее значение функции у=х^3-5х^2+8х+12 на отрезке [-4;1].

Answer 1

Ответ: ymin=y(-4)=-164

Объяснение:

Найдите наименьшее значение функции у = х³ - 5х² + 8х + 12 на отрезке [-4;1].

Найдем значение функции на границах отрезка

у(-4) = (-4)³ - 5·(-4)² +8·(-4) + 12 = -64 - 80 - 32 + 12 = -164

у(1) = 1³ - 5·1² +8·1 + 12 = 1 - 5 + 8 + 12 = 16

Найдем производную функции

у' =(х³ - 5х² + 8х + 12)' = (х³)' - (5х²)' + (8х)' + (12)' = 3x² - 10x +8

Найдем критические точки приравняв производную к нулю

 3x² - 10x + 8 = 0

D = (-10)² - 4·3·8 = 100 - 96 = 4

x₁ = (10-2)/(2·3) = 8/6 = 4/3 ≈ 1,33

x₂ = (10+2)/(2·3) = 12/6 = 2

Найденные точки не входят в данный отрезок поэтому значения функции в них находить не будем.

Функция на отрезке монотонна и возрастает. Минимальное значение функции находится в точке x = -4  y(-4) = -164

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^3 - 5x^2 + 8x + 12$ на заданном интервале $[-4, 1]$, нужно сначала найти критические точки функции внутри этого интервала, а также его концевые точки, и затем сравнить значения функции в этих точках, чтобы найти наименьшее значение.

1. Найдем производную функции: $y' = 3x^2 - 10x + 8.$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 10x + 8 = 0.$

Это квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

В данном случае, $a = 3$, $b = -10$, и $c = 8$.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{6} = \frac{10 \pm 2}{6}.$

Это дает нам два значения $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{4}{3}$.

3. Оценим функцию в найденных точках и на концах интервала $[-4, 1]$:

• $x = -4$: $y = (-4)^3 - 5(-4)^2 + 8(-4) + 12 = -32 + 80 - 32 + 12 = 28$.
• $x = -\frac{4}{3}$: Вычисления здесь немного сложные, но можно получить значение около $28.74$.
• $x = 1$: $y = 1^3 - 5(1)^2 + 8(1) + 12 = 1 - 5 + 8 + 12 = 16$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y = x^3 - 5x^2 + 8x + 12$ на интервале $[-4, 1]$ достигается в точке $x = -\frac{4}{3}$, и это значение примерно равно $28.74$.