Question

найти уравнение касательной , проведённой к графику функции f(x)= x^2 , параллельно прямой , проходящей через точки a(0;0) и b (1;1)​

Answer 1

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки A(0;0) и B(1;1).

$\frac{x - 0}{1-0} = \frac{y-0}{1-0}$

$x = y$

$y = x$.

Угловой коэффициент этой прямой есть k₁=1. Угловой коэффициент касательной равен $k_2 = f'(x_0)$.

$f'(x) = (x^2)' = 2x$

$k_2 = f'(x_0) = 2\cdot x_0$

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты совпадают.

$1 = 2\cdot x_0$

$x_0 = \frac{1}{2}$

Касательная касается графика функции f(x) в точке с абсциссой

x₀ = 1/2= 0,5.

Запишем уравнение касательной.

$y - f(x_0) = f'(x_0)\cdot (x - x_0)$

$f(x_0) = f(0{,}5) = (0{,}5)^2 = 0{,}25$

$f'(x_0) = 1$

$y - 0{,}25 = 1\cdot (x - 0{,}5)$

$y = x - 0{,}5 + 0{,}25$

$y = x - 0{,}25$

или

$y = x - \frac{1}{4}$.

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x^2, параллельной прямой, проходящей через точки A(0;0) и B(1;1), мы сначала найдем производную функции f(x) = x^2, а затем воспользуемся свойством того, что угол наклона касательной к графику функции равен угловому коэффициенту прямой, параллельной данной прямой.

1. Найдем производную функции f(x) = x^2: f(x) = x^2 f'(x) = 2x

2. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(0;0) и B(1;1): Угловой коэффициент k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 0) / (1 - 0) = 1

3. Так как угол наклона касательной к графику функции равен угловому коэффициенту прямой, параллельной данной прямой, уравнение касательной будет иметь вид: y - y0 = k(x - x0)

где (x0, y0) - точка, в которой проводится касательная, а k - угловой коэффициент.

В данном случае, так как у нас f(x) = x^2, угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой, параллельной AB, то есть k = 1.

Таким образом, уравнение касательной будет: y - y0 = k(x - x0) y - y0 = 1(x - x0) y - y0 = x - x0 y = x + (y0 - x0)

Теперь подставим координаты точки A(0;0) в уравнение: y = x + (0 - 0) y = x

Итак, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^2, параллельной прямой AB(0;0) - (1;1), равно y = x.