Question

№5. Решите тригонометрическое неравенство.

Answer 1

Заметим, что $\forall x:|\cos x|\geq \sin(2020x)\cos x$. Теперь рассмотрим два случая:

1) $\cos x\geq 0$. Докажем справедливость неравенства $\frac{2020}{1408}+\sin x>\cos x$ для всех таких переменных. Заметим, что $\cos x-\sin x=\sqrt{2}\sin(\pi/4-x)\leq \sqrt{2}$, последнее неравенство получилось следующим образом: возведем обе части неравенства в квадрат и вычтем единицу, получим: $1$, последняя величина больше $\frac{860\times 150}{355\times 355}=\frac{129000}{(360-5)^2}=\frac{129000}{36^2\times 10^2-2\times360\times 5+25}=\frac{129000}{3600(36-1)+25}=\frac{129000}{126025}$, поэтому больше 1.

2) $\cos x$. Тогда нужно доказать $\frac{2020}{1408}+\sin x>-\cos x$. Но $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)\geq -\sqrt{2}>-\frac{2020}{1408}$.

Объединив эти случаи, приходим к неравенству $|\cos x|$, верному для любого $x$. Итого: $\frac{2020}{1408}+\sin x>|\cos x|\geq \sin(2020x)\cos x$, значит исходное неравенство не выполнено ни при каком

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить тригонометрическое неравенство. Однако я не вижу неравенства в вашем вопросе. Пожалуйста, предоставьте мне неравенство, которое вы хотите решить, и я постараюсь помочь вам с его решением.