Question

В учебной группе 12 школьников. Каждый день двое из них дежурят. Через11 дней оказалось, что никакая пара школьников не дежурила дважды. Какое наибольшее количество школьников могло ни разу не подежурить за эту неделю?

Answer 1

Ответ:

6 школьников

Объяснение:

Выделим 5 школьников. Количество сочетаний из 5 по 2

C(2; 5) = 5*4/2 = 10 < 11.

Значит, если бы у нас было всего 5 школьников, то за 11 дней какая-то одна пара по-любому дежурила бы дважды.

Теперь выделим 6 школьников. Количество сочетаний из 6 по 2

C(2; 6) = 6*5/2 = 15 > 11.

Значит, 6 школьников уже могут так организоваться, что за 11 дней будет 11 разных пар, и ни одна пара не отдежурит дважды.

Значит, 6 школьников из 12 могли не дежурить вообще ни разу.

Answer 2

Предположим, что каждый школьник дежурил ровно один раз за 11 дней. Таким образом, всего было 22 дежурства, и каждый школьник выполнил по одному дежурству.

Но условие задачи говорит, что никакая пара школьников не дежурила дважды. Это означает, что каждая пара школьников должна выполнять дежурство в разные дни.

Пусть n - наибольшее количество школьников, которые не подежурили ни разу за 11 дней.

Каждый школьник имеет (11 - n) возможных дней для дежурства. Поскольку каждый день дежурят двое школьников, у нас должно быть по крайней мере 2 * (11 - n) дежурства.

Таким образом, мы можем записать неравенство: 2 * (11 - n) ≥ 22

Раскроем скобки: 22 - 2n ≥ 22

Перенесем -2n налево: -2n ≥ 0

Умножим обе части неравенства на -1 и изменем направление неравенства: 2n ≤ 0

Поскольку n является целым числом, наибольшее возможное значение n будет равно 0.

Таким образом, наибольшее количество школьников, которые могли не подежурить ни разу за 11 дней, составляет 0.