Question

Решить уравнение 2cos²(x -3π/2) - sin(x-π) = 0 ,найти корни принадлежащие отрезку (5π/2;4π)

Answer 1

Ответ:

$2cos^2(x-\dfrac{3\pi}{2})-sin(x-\pi )=0\\\\\star \ \ cos(x-\dfrac{3\pi}{2})=cos(\dfrac{3\pi}{2}-x)=-sinx\ \ \star \\\\\star \ \ sin(x-\pi )=-sin(\pi -x)=-sinx\ \ \star \\\\2(-sinx)^2-(-sinx)=0\\\\2sin^2x+sinx=0\\\\sonx\cdot (2sinx+1)=0\\\\a)\ \ sinx=0\ \ ,\ \ x=\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ sinx=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=(-1)^{k+1}\cdot \dfrac{\pi}{6}+\pi k\ ,\ k\in Z$

$c)\ \ x\in \Big(\dfrac{5\pi}{2}\, ;\, 4\pi \Big):\ x_1=3\pi \ ,\ x_2=3\pi +\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{19\pi }{6}\ ,\ x_3=4\pi -\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{23\pi }{6}\ .$

Answer 2

Используем формулы приведения и нечетность синуса.

2sin²x+sinx=0; (2sinx+1)*sinx=0;

1) )=0; sinx=0; х=πк  к∈Z

Если к=3; х=3π ∈ (5π/2;4π);

к=4; х=4π ∉(5π/2;4π);

2) 2sinx+1=0; sinx=-1/2; х=(-1)ⁿ⁺¹arcsin(1/2)+πn  n∈Z;

х=(-1)ⁿ⁺¹π/6+πn  n∈Z;

Если n=3, х=3π+π/6=(3 1/6)π ∈ (5π/2;4π);

Если n=4, х=4π-π/6=(3 5/6)π  ∈ (5π/2;4π);

Answer 3

Давайте решим данное уравнение:

Уравнение: 2cos²(x - 3π/2) - sin(x - π) = 0

Давайте начнем с упрощения выражений в нем:

1. Заменим cos² на 1 - sin²: 2(1 - sin²(x - 3π/2)) - sin(x - π) = 0

2. Раскроем скобку и упростим: 2 - 2sin²(x - 3π/2) - sin(x - π) = 0

3. Заменим sin(x - π) на -sin(x): 2 - 2sin²(x - 3π/2) + sin(x) = 0

Теперь мы имеем уравнение: 2 - 2sin²(x - 3π/2) + sin(x) = 0

Чтобы найти корни уравнения на заданном интервале (5π/2; 4π), мы можем воспользоваться численными методами или графическими методами. Это уравнение не имеет аналитического решения, поэтому мы воспользуемся численным методом.

Например, можно воспользоваться методом Ньютона (или методом касательных) или методом половинного деления. Я воспользуюсь последним методом.

Прежде всего, давайте уточним интервал, в котором ищем корни. Мы ищем корни на интервале (5π/2; 4π), так что давайте начнем с середины этого интервала:

x₀ = (5π/2 + 4π) / 2 = 9π/4

Теперь мы будем последовательно делить интервал пополам, выбирая подынтервал, на котором изменяется знак функции. Будем продолжать делать это до тех пор, пока не достигнем достаточной точности.

Давайте проведем несколько итераций:

1. Подставляем x = 9π/4 в уравнение: 2 - 2sin²(9π/4 - 3π/2) + sin(9π/4) ≈ 0.0053 (положительное)

Поскольку значение положительное, корень должен быть на левом подынтервале (5π/2; 9π/4). Продолжаем итерации:

2. Выбираем середину этого подынтервала: x₁ = (5π/2 + 9π/4) / 2 ≈ 13.1781

3. Подставляем x₁ в уравнение: 2 - 2sin²(13.1781 - 3π/2) + sin(13.1781) ≈ -0.0486 (отрицательное)

Значение отрицательное, значит корень находится на правом подынтервале (9π/4; 13.1781). Продолжаем итерации, уточняя корень:

4. Выбираем середину этого подынтервала: x₂ = (9π/4 + 13.1781) / 2 ≈ 11.3337

5. Подставляем x₂ в уравнение: 2 - 2sin²(11.3337 - 3π/2) + sin(11.3337) ≈ 0.0009 (положительное)

Значение близко к нулю, значит корень находится где-то рядом. Продолжайте итерации до тех пор, пока не достигнете достаточной точности.

Это лишь приближенный метод, и ручной расчет может быть достаточно трудоемким. Если вам нужна более точная оценка корней, рекомендуется использовать программное обеспечение или калькулятор, поддерживающий численные методы для решения уравнений.