Question

Вычислить производную функции Y=ln(sqrt(x-1)-sqrt(x+1)) в точке x0=sqrt2

Answer 1

Ответ:

-0,5

Объяснение:

Функция не определена ни при каких x, поэтому значение производной вычислить также невозможно. Но скорее всего, задача нацелена на проверку умения вычислять производные, что мы и сделаем:

$y'=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}\cdot(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1})'=\\=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}\cdot(\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}})=\\=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}}\cdot\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}\\y'(\sqrt{2})=-\dfrac{1}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}\sqrt{\sqrt{2}+1}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{2-1}}=-\dfrac{1}{2}$

Answer 2

Для вычисления производной функции $Y = \ln(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})$ в точке $x_0 = \sqrt{2}$ мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила). Давайте выполним вычисления.

Первым шагом найдем производную внутренней функции:

$u = \sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}$

Продифференцируем $u$ по $x$:

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

Теперь давайте найдем производную функции $Y$ по $u$:

$v = \ln(u)$

Продифференцируем $v$ по $u$:

$\frac{dv}{du} = \frac{1}{u}$

Теперь мы можем найти производную функции $Y$ по $x$ с использованием цепного правила:

$\frac{dY}{dx} = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Подставим значения:

$\frac{dY}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \right)$

Теперь подставим $u$ и значение $x_0 = \sqrt{2}$:

$u = \sqrt{\sqrt{2}-1} - \sqrt{\sqrt{2}+1}$

$u \approx -0.4142$

Теперь подставим это значение $u$ в выражение для производной:

$\frac{dY}{dx} = \frac{1}{-0.4142} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}} - \frac{1}{2\sqrt{\sqrt{2}+1}} \right)$

$\frac{dY}{dx} \approx -2.4059$

Таким образом, производная функции $Y = \ln(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})$