Question

Помогите решить задание, пожалуйста) вопрос моей стипендииНайди промежутки возрастания и убывания функции, подробно описать ход решенияy=x^3/3 + 3x^2 - 7x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=x³/3 + 3x² - 7x

Найдем производную функции  у'=х²+6х-7.

Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X.

Если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X,

Проверим по методу интервалов

у'>0 , х²+6х-7>0    , (x+7)(x-1)>0 ,

++++++(-7)---------(1)+++++++. берем там где + х∈(-∞ ;-7) и (1;+∞).

Т.к. функция определена и непрерывна при любом х, то можно включит концы отрезка х∈(-∞;-7]  и [1;+∞).

Аналогично  у'<0 , х²+6х-7<0    , (x+7)(x-1)<0⇒х∈[-7;1]  

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это задание! Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам потребуется проанализировать производную этой функции и выяснить, где она положительна (возрастание) или отрицательна (убывание).

Дана функция: $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x$.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x\right)$.

Рассчитаем производную каждого слагаемого по отдельности: $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3}\right) = x^2$. $\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$. $\frac{d}{dx}(-7x) = -7$.

Теперь соберем производную функции $y'$: $y' = x^2 + 6x - 7$.

2. Найдем корни уравнения $y' = 0$, чтобы выяснить, где производная меняет знак: $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}$.

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.

3. Теперь мы знаем, что производная $y'$ меняет знак с отрицательного на положительный при $x < -7$, и с положительного на отрицательный при $-7 < x < 1$, и снова с отрицательного на положительный при $x > 1$.

4. Итак, у нас есть следующие интервалы:

   • При $x < -7$, функция $y$ убывает.
   • При $-7 < x < 1$, функция $y$ возрастает.
   • При $x > 1$, функция $y$ снова убывает.

Таким образом, мы нашли промежутки возрастания и убывания функции $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x$, и подробно описали процесс решения.