Question

Найдите наименьшее значение выражения с использованием производной √( (x-3)² +4 ) + √(x² +y²) + √( (y-3)² +9 )

Answer 1

Ответ:

√61

Объяснение:

Найдём производную относительно x (то есть представим выражение как функцию z с параметром y):

$z'=\dfrac{1}{2\sqrt{(x-3)^2+4}}\cdot((x-3)^2+4)'+\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (x^2+y^2)'=\\=\dfrac{x-3}{\sqrt{(x-3)^2+4}}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Аналогично найдём производную относительно y:

$z'=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (x^2+y^2)'+\dfrac{1}{2\sqrt{(y-3)^2+9}}\cdot ((y-3)^2+9)'=\\=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\dfrac{y-3}{\sqrt{(y-3)^2+9}}$

Найдём точки экстремума. Для этого обе производные должны быть одновременно равны нулю:

$\begin{cases}\dfrac{x-3}{\sqrt{(x-3)^2+4}}+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=0,\\\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\dfrac{y-3}{\sqrt{(y-3)^2+9}}=0\end{cases}$

Выразим y² из первого уравнения:

$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=-\dfrac{x-3}{\sqrt{(x-3)^2+4}}\\\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=-\dfrac{x-3}{x\sqrt{(x-3)^2+4}}\\\sqrt{x^2+y^2}=-\dfrac{x\sqrt{(x-3)^2+4}}{x-3}$

Левая часть положительна (нулём быть не может, так как она была в знаменателе), значит, и правая часть положительна:

$-\dfrac{x\sqrt{(x-3)^2+4}}{x-3}>0|:-\sqrt{(x-3)^2+4}$

$x^2+y^2=\dfrac{x^2((x-3)^2+4)}{(x-3)^2}\\y^2=\dfrac{x^2(x-3)^2+4x^2}{(x-3)^2}-x^2\\y^2=\dfrac{4x^2}{(x-3)^2}\Rightarrow y=\pm\dfrac{2x}{x-3}$

Выразим x² из второго уравнения (уравнения практически одинаковые, поэтому некоторые преобразования я опущу):

$\sqrt{x^2+y^2}=-\dfrac{y\sqrt{(y-3)^2+9}}{y-3}>0\Rightarrow 0$

Подставим $y=\dfrac{2x}{x-3}$:

$x^2=\dfrac{9\cdot\frac{4x^2}{(x-3)^2}}{(\frac{2x}{x-3}-3)^2}\\x^2=\dfrac{36x^2}{(x-3)^2(\frac{2x}{x-3}-3)^2}|:x^2\neq 0\\1=\dfrac{36}{(2x-3(x-3))^2}\\(2x-3x+9)^2=36\\(9-x)^2=36\\\displaystyle \left [ {{x-9=6} \atop {x-9=-6}} \right. \left [ {{x=15} \atop {x=3}} \right.$

Так как 0 < x < 3, в данном случае корней нет.

Подставим  $y=-\dfrac{2x}{x-3}$:

$x^2=\dfrac{9\cdot\frac{4x^2}{(x-3)^2}}{(-\frac{2x}{x-3}-3)^2}\\x^2=\dfrac{36x^2}{(x-3)^2(\frac{2x}{x-3}+3)^2}|:x^2\neq 0\\1=\dfrac{36}{(2x+3(x-3))^2}\\(2x+3x-9)^2=36\\(5x-9)^2=36\\\displaystyle\left [ {{5x-9=6} \atop {5x-9=-6}} \right. \left [ {{x=3} \atop {x=\frac{3}{5}}} \right.$

Так как 0 < x < 3, подходит только один корень $x=\dfrac{3}{5}$.

$y=-\dfrac{2\cdot \frac{3}{5}}{\frac{3}{5}-3}=\dfrac{\frac{6}{5}}{\frac{12}{5}}=\dfrac{1}{2}$ — удовлетворяет условию 0 < y < 3.

$\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{2}\right)$ — точка экстремума.

Исследуем знаки производной относительно x при $y=\dfrac{1}{2}$. При $x$, например, при $x=\dfrac{1}{2}$, производная имеет знак:

$\dfrac{\frac{1}{2}-3}{\sqrt{(\frac{1}{2}-3)^2+4}}+\dfrac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}}=\dfrac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{\frac{25}{4}+4}}+\dfrac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=-\dfrac{\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{41}}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{5}{\sqrt{41}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\-\dfrac{5}{\sqrt{41}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vee 0\\\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vee\dfrac{5}{\sqrt{41}}\\\dfrac{1}{2}\vee\dfrac{25}{41}\\41$

Производная имеет знак минус. При $x>\dfrac{3}{5}$, например, при x = 1, производная имеет знак:

$\dfrac{1-3}{\sqrt{(1-3)^2+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=-\dfrac{2}{\sqrt{8}}+\dfrac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}\vee 0\\\dfrac{2}{\sqrt{5}}\vee \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\dfrac{4}{5}> \dfrac{1}{2}$

Производная имеет знак плюс. Значит, $x=\dfrac{3}{5}$ — точка минимума.

Аналогично исследуем знаки производной относительно y при $x=\dfrac{3}{5}$. При $y$, например, при $y=\dfrac{1}{4}$, производная имеет знак:

$\dfrac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{1}{16}}}+\dfrac{\frac{1}{4}-3}{\sqrt{(\frac{1}{4}-3)^2+9}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{13}{20}}-\dfrac{\frac{11}{4}}{\frac{\sqrt{265}}{4}}=\dfrac{5}{13}-\dfrac{11}{\sqrt{265}}\vee 0\\\dfrac{5}{13}\vee \dfrac{11}{\sqrt{265}}\\\dfrac{25}{169}< \dfrac{121}{265}$

Производная имеет знак минус. При $y>\dfrac{1}{2}$, например, при y = 1, производная имеет знак:

$\dfrac{1}{\sqrt{\frac{9}{25}+1}}+\dfrac{1-3}{\sqrt{(1-3)^2+9}}=\dfrac{1}{\frac{\sqrt{34}}{5}}-\dfrac{2}{\sqrt{13}}=\dfrac{5}{\sqrt{34}}-\dfrac{2}{\sqrt{13}}\vee 0\\\dfrac{5}{\sqrt{34}}\vee\dfrac{2}{\sqrt{13}}\\\dfrac{25}{34}>\dfrac{4}{13}$

Производная имеет знак плюс. Значит, $y=\dfrac{1}{2}$ — точка минимума.

Значит, $\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{1}{2}\right)$ — точка минимума всей функции. Значение выражения в данной точке равно:

$\sqrt{\left(\dfrac{3}{5}-3\right)^2+4}+\sqrt{\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-3\right)^2+9}=\\=\sqrt{\dfrac{244}{25}}+\sqrt{\dfrac{61}{100}}+\sqrt{\dfrac{61}{4}}=\dfrac{2\sqrt{61}}{5}+\dfrac{\sqrt{61}}{10}+\dfrac{\sqrt{61}}{2}=\sqrt{61}$

Answer 2

Давайте найдем минимальное значение выражения, используя производные. Выражение:

E = √((x-3)² + 4) + √(x² + y²) + √((y-3)² + 9)

Сначала возьмем частные производные этого выражения по переменным x и y:

∂E/∂x = (x-3)/√((x-3)² + 4) + x/√(x² + y²) ∂E/∂y = y/√(x² + y²) + (y-3)/√((y-3)² + 9)

Чтобы найти критические точки (точки, в которых производные равны нулю), приравняем обе производные к нулю и решим получившуюся систему уравнений:

∂E/∂x = 0: (x-3)/√((x-3)² + 4) + x/√(x² + y²) = 0

∂E/∂y = 0: y/√(x² + y²) + (y-3)/√((y-3)² + 9) = 0

Решение этой системы уравнений аналитически довольно сложно, поэтому можно воспользоваться численными методами для нахождения точного значения минимума. Метод наименьших квадратов или метод Ньютона могут быть хорошими кандидатами для такого рода задач.

Если вы хотите получить численное значение минимума, вы можете воспользоваться специализированными математическими программами или онлайн-калькуляторами для оптимизации функций.