Question

Числитель и знаменатель некоторой дроби – натуральные числа, причем знаменатель на 4 больше числителя. Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то дробь возрастает менее чем вдвое. Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1, то дробь увеличивается более чем втрое. Найдите эту дробь.

Answer 1

Перепишем языком математики

Дробь имеет вид n/(n+4)

Вторая дробь (n+6)/(n+8) менее чем в два раза больше первой, поэтому

$\displaystyle\\\frac{n+6}{n+8} / \frac{n}{n+4} < 2\\(n+6)(n+4) < 2n(n+8)\\n^2+6n-24 > 0$

Третья дробь (n+8)/(n+5) более чем в три раза больше первой, поэтому

$\displaystyle\\\frac{n+8}{n+5}/\frac{n}{n+4} > 3\\(n+8)(n+4) > 3n(n+5)\\2n^2+3n-32$

Решение первого неравенства можно записать в виде (помня что n больше нуля и вообще натуральное)

$n>-3+\sqrt{33}\approx 2.74\\n\geq3$

Решение второго неравенства можно записать в виде

$n$

Остается единственный вариант n=3 и дробь это 3/7

Answer 2

Пусть числитель дроби равен $x$, а знаменатель равен $x + 4$.

Условия можно записать следующим образом:

1. $\frac{x + 6}{x + 8} \leq 2$
2. $\frac{x + 8}{x + 5} > 3$

Рассмотрим первое неравенство:

$\frac{x + 6}{x + 8} \leq 2$

Раскроем неравенство:

$x + 6 \leq 2(x + 8)$

$x + 6 \leq 2x + 16$

Отсюда получаем:

$x \geq -10$

Теперь рассмотрим второе неравенство:

$\frac{x + 8}{x + 5} > 3$

Раскроем неравенство:

$x + 8 > 3(x + 5)$

$x + 8 > 3x + 15$

Отсюда получаем:

$x < -7$

Итак, мы имеем систему неравенств: $x \geq -10$ и $x < -7$. Совмещая их, получаем, что $x$ находится в интервале $-10 \leq x < -7$.

Так как $x$ является натуральным числом, единственное значение $x$, удовлетворяющее этому интервалу, это $x = -8$.

Таким образом, числитель дроби равен -8, а знаменатель равен $x + 4 = -8 + 4 = -4$. Однако, так как числитель и знаменатель должны быть натуральными числами, эта задача не имеет решений в натуральных числах. Возможно, в условии есть ошибка или уточнения.