Question

Найти все пары х и у, удовлетворяющих уравнению x²-2y²-2xy+2x-6y+5=0, можно не решение, а способ

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$x^2-2(y-1)x-2y^2-6y+5=0\\D/4=(y-1)^2+2y^2+6y-5=3y^2+4y-4\ge0 \Leftrightarrow y \in (-\infty; -2] \cup [2/3; \infty)\\x_{1,2}=y-1\pm\sqrt{3y^2+4y-4}\\OTBET: \left(k-1\pm\sqrt{3k^2+4y-4}; k\right), k \in (-\infty; -2] \cup [2/3; \infty)$

Answer 2

Давайте попробуем рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно переменной x, считая y константой. У нас есть уравнение:

x² - 2xy + 2x + (-2y² - 6y + 5) = 0

Теперь давайте разберемся с выражением в скобках: -2y² - 6y + 5. Давайте попробуем представить его как квадратный трехчлен. Чтобы это сделать, нам нужно добавить и вычесть какое-то число внутри скобок:

-2y² - 6y + 5 = -(2y² + 6y) + 5

Теперь давайте попробуем выделить полный квадрат из первых двух членов:

-2y² - 6y = -2(y² + 3y) = -2(y² + 3y + 9/4 - 9/4) = -2((y + 3/2)² - 9/4)

Теперь подставим это в уравнение:

x² - 2xy + 2x + (-2(y + 3/2)² + 9/2 + 5) = 0

x² - 2xy + 2x - 2(y + 3/2)² + 19/2 = 0

Теперь мы видим, что у нас есть уравнение, в котором x и (y + 3/2)² связаны. Мы можем рассмотреть это уравнение как квадратное относительно x и попытаться найти его корни. Таким образом, мы получим несколько уравнений вида (y + 3/2)² = ..., которые будут представлять собой параболы в зависимости от y.

Для каждого значения y, которое удовлетворяет условию (y + 3/2)² = ..., мы можем найти соответствующие значения x, которые удовлетворяют квадратному уравнению для данного y. Это позволит нам найти все пары (x, y), удовлетворяющие данному уравнению.

Таким образом, можно представить способ решения данной задачи, который сводится к выделению полного квадрата и последующему анализу параболических уравнений для различных значений y.