Question

2sin²x-7sinx+3=0 Найти корни, удовлетворяющие сosx≤0 Пожалуйста с объяснением

Answer 1

$2sin^2x-7sinx+3=0$

Делаем замену:

$sinx=t$

Не забываем про условие

$- 1 \leqslant t \leqslant 1$

Получаем квадратное уравнение :

$2t^2-7t+3=0$

Решаем:

$D=49-4*3*2=25\\t_1=3\\t_2=\frac {1}{2}$

Первый корень не удовлетворяет условию

$- 1 \leqslant t \leqslant 1$

А вот второй корень нам подходит.

Делаем обратную замену:

$sinx=\frac{1}{2}$

$x=(-1)^n\frac{\pi} {6}+\pi n$

Ответ:

$x=(-1)^n\frac{\pi} {6}+\pi n$

б) Смотрим на рисунок.

Наши решения располагаются в первой и во второй четвертях.

А решения условия

$cosx \leqslant 0$

располагаются во второй и в третьей

четвертях.

Поэтому решение уравнения

$x=\frac{\pi} {6}+2\pi n$

не удовлетворяет поставленному условию.

Но зато решение

$x=\frac{5\pi} {6}+2\pi n$

нам вполне подходит.

Ответ:

$x=\frac{5\pi} {6}+2\pi n$

Answer 2

Давайте решим уравнение 2sin²x - 7sinx + 3 = 0 и найдем его корни. Затем мы проверим, какие из этих корней удовлетворяют условию cosx ≤ 0.

Уравнение: 2sin²x - 7sinx + 3 = 0

Для начала, давайте попробуем факторизовать это уравнение:

2sin²x - 7sinx + 3 = (2sinx - 3)(sinx - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения sinx:

1. 2sinx - 3 = 0 sinx = 3/2 Но синус не может быть больше 1, так что это уравнение не имеет решений.

2. sinx - 1 = 0 sinx = 1 Это уравнение имеет единственное решение: x = π/2.

Теперь давайте рассмотрим условие cosx ≤ 0. Оно выполняется в тех случаях, когда cosx находится в отрицательной полуплоскости (т.е. от π/2 до 3π/2).

Так как sinx = 1 в точке x = π/2, это означает, что cosx = 0 в этой точке. Следовательно, x = π/2 удовлетворяет условию cosx ≤ 0.

Итак, корень x = π/2 удовлетворяет условию cosx ≤ 0. Другие корни не удовлетворяют этому условию.