Question

A)2sin²x-7sinx+3=0 решить б)Найти все корни, удовлетворяющие cosx≤0

Answer 1

$2sin^2x-7sinx+3=0\Leftrightarrow \left ( sinx-3 \right )\left ( 2sinx-1 \right )=0\\sinx=\left \{ \frac{1}{2};3 \right \}\Rightarrow x=\left ( -1 \right )^k\frac{\pi}{6}+\pi k\\cosx\leq 0\Rightarrow x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Answer 2

а) Для решения уравнения $2\sin^2(x) - 7\sin(x) + 3 = 0$ можно воспользоваться квадратным уравнением. Пусть $t = \sin(x)$, тогда уравнение примет вид:

$2t^2 - 7t + 3 = 0.$

Далее решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{4} = 3,$ $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}.$

Теперь нам нужно найти $x$ для каждого из корней $t$:

Для $t_1 = 3$: $\sin(x) = 3$. Но так как значение синуса не может быть больше 1, это уравнение не имеет решений.

Для $t_2 = \frac{1}{2}$: $\sin(x) = \frac{1}{2}$. Это уравнение имеет два решения, соответствующих углам в первой и второй четвертях: $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{6}$.

б) Теперь нам нужно найти все корни, удовлетворяющие условию $\cos(x) \leq 0$. Это означает, что $x$ должен находиться в интервалах, где косинус отрицателен.

Косинус является отрицательным во второй и третьей четвертях. Во второй четверти $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi$, а в третьей четверти $\pi \leq x \leq \frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, решения, которые удовлетворяют $\cos(x) \leq 0$, находятся в интервалах $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ и $\left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$.

Итак, корни уравнения $2\sin^2(x) - 7\sin(x) + 3 = 0$, удовлетворяющие $\cos(x) \leq 0$, это $x_1 = \frac{5\pi}{6}$ и $x_2 = \pi$.