Question

Решите тригонометрические уравнения:1. 6sin²x - 7sinx - 5 = 02. 3sin²x + 10 cosx - 10 = 03. 2sin²x + 11sinx*cosx + 14cos²x = 04. 3tg x - 5ctg x + 14 = 05. 10sin²x - sin2x = 8cos²x6. 1 - 6cos²x = 2sin2x + cos2x

Answer 1

1. 6sin²x - 7sinx - 5 = 0

t = sinx: [-1;1]

$6t^2-7t-5=0;\ \ D=169;\ \ t_1=-0,5;\ \ t_2=\frac{5}{3}>1.$

sinx=-0,5.

$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi*k;\ \ k:Z.$

 

2. 3sin²x + 10 cosx - 10 = 0

$3(1-cos^2x)+10cosx-10=0$

$3cos^2x-10cosx+7=0;\ \ cosx=t:\ [-1;1].$

$3t^2-10t+7=0;\ \ D=16;\ \ t_1=1;\ \ t_2=\frac{7}{3}>1.$

cosx=1

$x=2\pi*k;\ \ k:Z.$

 

3. 2sin²x + 11sinx*cosx + 14cos²x = 0 

Поделим данное однородное уравнение на квадрат косинуса и сделаем замену переменной: tgx=t

$2t^2+11t+14=0;\ \ D=9;\ \ t_1=-3,5;\ \ \ t_2=-2.$

tgx=-2     tgx=-3,5

Имеем две группы углов:

$-arctg2+\pi*k;\ \ \ \ -arctg3,5+\pi*n;\ \ \ k,n:Z.$

4. 3tg x - 5ctg x + 14 = 0

Пусть tgx=t

$3t-\frac{5}{t}+14=0\ \ \ (t\neq0).$

$3t^2+14t-5=0;\ \ \ D=256;\ \ t_1=\frac{1}{3};\ \ t_2=-5.$

В ответе имеем две группы углов:

$-arctg5+\pi*k;\ \ \ \ \ arctg\frac{1}{3}+\pi*n;\ \ \ k,n:Z.$

 

5. 10sin²x - sin2x = 8cos²x

$10sin^2x-2sinxcosx-8cos^2x=0.$

Аналогично задаче 4, сделаем замену переменной tgx=t после деления на квадрат косинуса и сокращения на 2:

$5t^2-t-4=0;\ \ \ D=81;\ \ t_1=1;\ \ \ t_2=-0,8.$

В ответе имеем две группы углов:

$-arctg0,8+\pi*k;\ \ \ \ \ \frac{\pi}{4}+\pi*n;\ \ \ k,n:Z.$

 

6. 1 - 6cos²x = 2sin2x + cos2x

Применив основное тождество и формулы синуса и косинуса двойного угла, получим:

$sin^2x+cos^2x-6cos^2x-4sinxcosx-cos^2x+sin^2x=0;$

$2sin^2x-4sinxcosx-6cos^2x=0\ \ /2cos^2x;\ \ \ tgx=t.$

$t^2-2t-3=0;\ \ t_1=-1;\ \ \ t_2=3.$

В ответе имеем две группы углов:

$-\frac{\pi}{4}+\pi*k;\ \ \ \ \ arctg3+\pi*n;\ \ \ k,n:Z.$

 

 

 

Answer 2

Для решения тригонометрических уравнений, мы должны найти значения переменных, при которых уравнение выполняется. Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1. 6sin²x - 7sinx - 5 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем заменить sinx на переменную y и решить квадратное уравнение относительно y:

6y² - 7y - 5 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта или метод факторизации:

Дискриминант D = b² - 4ac = (-7)² - 4(6)(-5) = 49 + 120 = 169

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

y₁ = (-b + √D) / (2a) = (7 + 13) / 12 = 1

y₂ = (-b - √D) / (2a) = (7 - 13) / 12 = -1/2

Теперь мы можем найти значения x, используя обратные функции тригонометрии:

x₁ = arcsin(y₁) = arcsin(1) = π/2 + 2kπ, k - целое число x₂ = arcsin(y₂) = arcsin(-1/2) = -π/6 + 2kπ, k - целое число

Таким образом, решением уравнения 6sin²x - 7sinx - 5 = 0 являются x = π/2 + 2kπ и x = -π/6 + 2kπ.

2. 3sin²x + 10cosx - 10 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить sin²x через cosx:

sin²x = 1 - cos²x

Подставим это выражение в уравнение и приведем его к квадратному виду:

3(1 - cos²x) + 10cosx - 10 = 0 3 - 3cos²x + 10cosx - 10 = 0 -3cos²x + 10cosx - 7 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно cosx:

-3cos²x + 10cosx - 7 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя формулу дискриминанта или метод факторизации:

Дискриминант D = b² - 4ac = (10)² - 4(-3)(-7) = 100 - 84 = 16

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

cosx₁ = (-b + √D) / (2a) = (10 + 4) / (-6) = -2/3 cosx₂ = (-b - √D) / (2a) = (10 - 4) / (-6) = -1/3

Теперь мы можем найти значения x, используя обратные функции тригонометрии:

x₁ = arccos(cosx₁) = arccos(-2/3) = π + 2kπ, k - целое число x₂ = arccos(cosx₂) = arccos(-1/3) = 2π/3 + 2kπ, k - целое число

Таким образом, решением уравнения 3sin²x + 10cosx - 10 = 0 являются x = π + 2kπ и x = 2π/3 + 2kπ.

3. 2sin²x + 11sinx*cosx + 14cos²x = 0

Для решения этого уравнения, мы можем привести его к более простому виду, используя тригонометрические тождества:

sin²x + cos²x = 1

Заменим sin²x + cos²x в уравнении и приведем его к квадратному виду:

2sin²x + 11sinx*cosx + 14cos²x = 0 1 + 10sinx*cosx + 14cos²x = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, используя замену:

y = cosx

Подставим это выражение в уравнение:

1 + 10sinx*y + 14y² = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Решим его, используя формулу дискриминанта или метод факторизации:

Дискриминант D = b² - 4ac = (10)² - 4(1)(14) = 100 - 56 = 44

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

y₁ = (-b + √D) / (2a) = (-10 + 2√11) / 28 ≈ -0.137 y₂ = (-b - √D) / (2a) = (-10 - 2√11) / 28 ≈ -2.363

Теперь мы можем найти значения x, используя обратные функции тригонометрии:

x₁ = arccos(y₁) = arccos(-0.137) ≈ 1.707 + 2kπ, k - целое число x₂ = arccos(y₂) = arccos(-2.363) ≈ 2.461 + 2kπ, k - целое число

Таким образом, решением уравнения 2sin²x + 11sinx*cosx + 14cos²x = 0 являются x ≈ 1.707 + 2kπ и x ≈ 2.461 + 2kπ.

4. 3tgx - 5ctgx + 14 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества:

tgx = sinx / cosx ctgx = cosx / sinx

Подставим эти выражения в уравнение:

3(sin(x) / cos(x)) - 5(cos(x) / sin(x)) + 14 = 0

Умножим все члены уравнения на cosx * sinx, чтобы избавиться от знаменателей:

3sin²x - 5cos²x + 14cosx*sinx = 0

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы привести это уравнение к более простому виду:

sin²x - cos²x = 1 - cos²x - cos²x = 1 - 2cos²x

Заменим sin²x - cos²x в уравнении:

3(1 - 2cos²x) - 5cos²x + 14cosx*sinx = 0 3 - 6cos²x - 5cos²x + 14cosx*sinx = 0 -11cos²x + 14cosx*sinx + 3 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя замену:

y = cosx

Подставим это выражение в уравнение:

-11y² + 14y*sinx + 3 = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Решим его, используя формулу дискриминанта или метод факторизации:

Дискриминант D = b² - 4ac = (14sinx)² - 4(-11)(3) = 196sin²x + 132 > 0 (так как sin²x <= 1)

Так как дискриминант положительный, у