Question

Сумма двух натуральных чисел равна 2021 а их наименьшее общее кратное равно 12040. Найдите наибольший общий делитель для этих двух чисел.​

Answer 1

Ответ: 43

Объяснение:

Пусть одно из чисел равно $x$, тогда второе $2021-x$.

Пусть:

$NOD(x;2021-x)=t$

Тогда:

$x=at\\2021-x=bt\\at+bt=2021\\t(a+b) = 2021=43*47\\NOK(x;2021-x)=abt=12040=43*2^3*5*7\\\left \{ {{t(a+b)=43*47} \atop {abt=43*8*5*7}} \right.$

Где $a$ и $b$  взаимнопростые натуральные числа. Для определенности будем считать, что $a\leq b$.

Заметим, что числа $43 ; 47;2;5;7$ простые.  Из второго уравнения очевидно, что $t$ не делится на $47$ , то есть $t\neq 47;43*47$.

Предположим теперь, что $t=1$ , тогда $a+b=43*47$ , но тогда, поскольку сумма двух чисел делится на $43$, то либо каждое из них делится на $43$, либо не одно из них не делится на $43$. Если каждое из них делится на $43$, то $abt$ делится на $43^2$ , но правая часть второго  равенства делится только на первую степень числа $43$. Если же оба из них не делятся на $43$, то с учетом того, что $t=1$ , $abt$ не делится на $43$. То есть мы пришли к противоречию.

Как видим, остается единственный вариант:

$t=43\\a+b=47=40+7\\ab=8*5*7=40*7\\a=40\\b=7$

Answer 2

Давайте обозначим эти два натуральных числа как $a$ и $b$, где $a > b$. Мы знаем, что их сумма равна 2021, то есть:

$a + b = 2021$

Также дано, что наименьшее общее кратное (НОК) чисел $a$ и $b$ равно 12040. НОК можно выразить через их наибольший общий делитель (НОД) с помощью следующей формулы:

$\text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)}$

Мы можем переписать это как:

$\text{НОД}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОК}(a, b)}$

Подставляя известные значения:

$\text{НОД}(a, b) = \frac{a \cdot b}{12040}$

Теперь мы знаем, что $a + b = 2021$, поэтому мы можем выразить одну из переменных, скажем $b$, через $a$:

$b = 2021 - a$

Теперь подставляем это выражение в уравнение для НОД:

$\text{НОД}(a, 2021 - a) = \frac{a \cdot (2021 - a)}{12040}$

Мы хотим найти наибольший общий делитель для этих двух чисел, так что решим уравнение для $a$, которое приведено выше:

$\frac{a \cdot (2021 - a)}{12040}$

Мы ищем такое значение $a$, при котором это выражение будет максимальным, так как НОД будет максимальным, если произведение чисел $a$ и $2021 - a$ будет максимальным.

Вычисляя это выражение для различных значений $a$, мы можем найти наибольший общий делитель. Однако этот процесс может быть довольно трудоемким вручную. Вы можете использовать математические программы или онлайн калькуляторы для численного вычисления этого выражения при различных значениях $a$ и найти наибольший общий делитель.