Question

Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению (x - 4)^2n + (x - 3)^n - 1, где n является натуральным, делится нацело га многочлен x^2 - 7x + 12

Answer 1

$f(x)=(x - 4)^{2n} + (x - 3)^n - 1\\ x^2 - 7x + 12=(x-3)(x-4)\\ f(3)=(3 - 4)^{2n} + (3 - 3)^n - 1=(-1)^{2n} + 0^n - 1=0=>f(x)\vdots (x-3)\\ f(4)=(4 - 4)^{2n} + (4 - 3)^n - 1=(0)^{2n} + 1^n - 1=0=>f(x)\vdots (x-4)$

$(x-3)$ и $(x-4)$ неприводимы над $C$ (их степень равна 1) . А значит $f(x)\vdots((x-3)(x-4))=x^2 - 7x + 12$

Ч.т.д.

_____________________

В решении использована Теорема Безу: остаток от деления многочлена ${\displaystyle P(x)}$ на двучлен ${\displaystyle (x-a)}$ равен ${\displaystyle P(a)}$.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что многочлен делится нацело на $x^2 - 7x + 12$, нужно показать, что остаток от деления многочлена на $x^2 - 7x + 12$ равен нулю.

Мы имеем следующее выражение для многочлена:

$P(x) = (x - 4)^{2n} + (x - 3)^n - 1$.

Сначала давайте найдем корни $x^2 - 7x + 12$, которые представляют собой решения квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. Это уравнение можно факторизовать следующим образом:

$x^2 - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3)$.

Итак, корни этого квадратного уравнения равны $x = 4$ и $x = 3$.

Теперь давайте проверим, что $P(x)$ делится нацело на $x^2 - 7x + 12$, подставив найденные корни в $P(x)$ и убедившись, что результат равен нулю:

1. Подстановка $x = 4$:

   $P(4) = (4 - 4)^{2n} + (4 - 3)^n - 1 = 0^n + 1^n - 1 = 0 + 1 - 1 = 0$.

2. Подстановка $x = 3$:

   $P(3) = (3 - 4)^{2n} + (3 - 3)^n - 1 = (-1)^{2n} + 0^n - 1 = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, $P(x)$ дает нулевой остаток при подстановке корней $x^2 - 7x + 12$, что означает, что $P(x)$ делится нацело на $x^2 - 7x + 12$.