Question

Найдите количество корней уравнения 1−tg2x=0, принадлежащих промежутку [0°; 360°]

Answer 1

$1-\mathrm{tg}2x=0$

$\mathrm{tg}2x=1$

$2x=\mathrm{arctg}1+\pi n$

$2x=\dfrac{\pi}{4} +\pi n$

$x=\dfrac{\pi}{8} +\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Найдем количество корней, принадлежащих промежутку $[0;\ \pi]$.

$0\leq \dfrac{\pi}{8} +\dfrac{\pi n}{2}\leq \pi$

$0\leq \dfrac{1}{8} +\dfrac{n}{2}\leq 1$

$-\dfrac{1}{8}\leq \dfrac{n}{2}\leq 1-\dfrac{1}{8}$

$-\dfrac{1}{8}\leq \dfrac{n}{2}\leq \dfrac{7}{8}$

$-\dfrac{1}{8}\cdot2\leq n\leq \dfrac{7}{8}\cdot2$

$-\dfrac{1}{4}\leq n\leq \dfrac{7}{4}$

Целых чисел n, принадлежащие указанному отрезку два: 0 и 1. Значит, уравнение имеет два корня, принадлежащих заданному промежутку.

Ответ: 2

Answer 2

Для того чтобы найти количество корней уравнения $1 - \tan^2(x) = 0$ на промежутке $[0^\circ; 360^\circ]$, давайте сначала рассмотрим, как это уравнение связано с тригонометрическими функциями.

Исходное уравнение можно переписать как:

$\tan^2(x) = 1.$

Затем извлечем квадратный корень из обеих сторон:

$\tan(x) = \pm 1.$

Так как $\tan(x)$ имеет период $\pi$ (или 180°), то его значения повторяются через каждый период. В промежутке $[0^\circ; 360^\circ]$ $\tan(x)$ имеет следующие значения:

$\tan(0^\circ) = 0$

$\tan(45^\circ) = 1$

$\tan(90^\circ) = \text{не определено}$

$\tan(135^\circ) = -1$

$\tan(180^\circ) = 0$

$\tan(225^\circ) = 1$

$\tan(270^\circ) = \text{не определено}$

$\tan(315^\circ) = -1$

$\tan(360^\circ) = 0$

Из этого видно, что на интервале $[0^\circ; 360^\circ]$ уравнение $\tan(x) = 1$ имеет два решения ($45^\circ$ и $225^\circ$), а уравнение $\tan(x) = -1$ также имеет два решения ($135^\circ$ и $315^\circ$).

Итак, суммарно уравнение $1 - \tan^2(x) = 0$ имеет четыре решения на интервале $[0^\circ; 360^\circ]$.