Question

даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение стороны АВ; 3) уравнение высоты СН; 4) уравнение медианы АМ; 5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; 6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ. А(-2;3) В(0;7)С(8;3)

Answer 1

Даны вершины треугольника  А(-2;3), В(0;7), С(8;3).

1)  AB = {xb - xa; yb - ya} = {0 - (-2); 7 - 3} = {2; 4} .

Длина АВ = √(2² + 4²) =√(4 + 16) = √20 = 2√5.

2)Составим каноническое уравнение прямой  АВ.

Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:

( x - xa) / (xb - xa)  =   (y - ya) / (yb - ya).  

Подставим в формулу координаты точек А и В:

( x - (-2)) / (0 - (-2))  =   (y - 3) / (7 - 3).  

В итоге получено каноническое уравнение прямой:

(x + 2) / 2  =   (y - 3) /4.

Из уравнения прямой в каноническом виде получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y = 2x + 7 .

Составим параметрическое уравнение прямой

Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:

x = l t + x1

y = m t + y1

 где:

{l; m} - направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор AB;

(x1, y1) - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.

AB = {xb - xa; yb - ya} = {0 - (-2); 7 - 3} = {2; 4}

В итоге получено параметрическое уравнение прямой:

x = t - 2 .

y = 2t + 3.

3) Угловой коэффициент перпендикуляра СН равен -1/к(АВ) = -1/2.

Уравнение СН: у = (-1/2)х + в. Подставим координаты точки С.

3 = (-1/2)*8 + в, отсюда в = 3 + 4 = 7.

Получаем СН: у = (-1/2)х + 7 или в общем виде х + 2у - 14 = 0.

4) Находим координаты точки М как середины стороны ВС.

М(((0+8)/2); ((7+3)/2)) = (4; 5).

Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:

( x - xa) / (xm - xa)  =   (y - ya) / (ym - ya).  

Подставим в формулу координаты точек А и М:

( x - (-2)) / (4 - (-2))  =   (y - 3) / (5 - 3).  

В итоге получено каноническое уравнение прямой:

(x + 2) / 6  =   (y - 3) /2 или  (x + 2) / 3  =   (y - 3) /1.

Из уравнения прямой в каноническом виде получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y = (1/3)x + (11/3) .

В общем виде: х - 3у + 11 = 0.

Составим параметрическое уравнение прямой

Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:

x = l t + x1

y = m t + y1

 где:

{l; m} - направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор AМ;

(x1, y1) - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.

AМ = {xм - xa; yм - ya} = {4 - (-2); 5 - 3} = {6; 2}

В итоге получено параметрическое уравнение прямой:

x =3 t - 2 .

y = t + 3.

5) Находим точку N пересечения медианы АМ и высоты СН.

АМ: х - 3у + 11 = 0,

СН: х + 2у - 14 = 0.  Вычтем из второго уравнения первое:

5у - 25 = 0, отсюда у = 25/5 = 5, х = 3у - 11 = 3*5 - 11 = 4.

Точка N(4; 5).

6) С || АВ: 2 Х - У - 13 = 0

Answer 2

Для решения задачи вам понадобятся некоторые геометрические формулы. Давайте последовательно решим каждый пункт задачи:

1. Длина стороны AB: Длина стороны AB вычисляется с использованием формулы расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула выглядит следующим образом:

   AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

   Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

   Подставим значения координат точек A(-2, 3) и B(0, 7) в формулу:

   AB = sqrt((0 - (-2))^2 + (7 - 3)^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2sqrt(5)

   Таким образом, длина стороны AB равна 2sqrt(5).

2. Уравнение стороны AB: Уравнение прямой, проходящей через две точки A(-2, 3) и B(0, 7), может быть найдено с использованием формулы наклона и точки:

   Наклон (slope) m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

   Подставим значения координат точек A и B в формулу:

   m = (7 - 3) / (0 - (-2)) = 4 / 2 = 2

   Теперь используем формулу точки для нахождения уравнения:

   y - y1 = m(x - x1)

   Подставим значение одной из точек, например, точки A(-2, 3):

   y - 3 = 2(x - (-2)) y - 3 = 2(x + 2) y - 3 = 2x + 4 y = 2x + 7

   Таким образом, уравнение стороны AB равно y = 2x + 7.

3. Уравнение высоты СН: Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. Для нахождения уравнения высоты CH нам понадобится найти уравнение прямой, проходящей через точку C(8, 3) и перпендикулярной стороне AB.

   Наклон стороны AB равен 2 (получено в предыдущем пункте). Так как высота перпендикулярна стороне AB, то ее наклон