Question

A=(1,0) B=(7,3) C=(4,4) По координатам вершин треугольника ∆ABC найти: • уравнение линии BC ; • уравнение высоты AK ; • длину высоты AK ; • уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC ; • уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A; • угол (ϕ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB; • площадь треугольника ABC ; • периметр треугольника ABC .

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника ∆ABC:

A=(1,0) B=(7,3) C=(4,4)

Найти:

• уравнение линии BC.

;Вектор ВС = (4-7; 4-3) = (-3; 1)

Уравнение ВС: (x - 7)/(-3) = (y - 3)/1 или в общем виде:

x + 3y - 16 = 0.

• уравнение высоты AK.

АК это перпендикуляр к ВС. В уравнении АК  коэффициенты А и В прямой ВС меняются на -В и А.

АК: -3x + y + C = 0, подставим координаты точки А:

-3*1 + y*0 + C = 0, отсюда С = 3.

Уравнение АК:  -3x + y + 3 = 0 или  3x - y - 3 = 0.

• длину высоты AK.

Точка К - это пересечение ВС и АК.

x + 3y - 16 = 0,              x + 3y - 16 = 0,

3x - y - 3 = 0   |x(3) =  9x -3y - 9 = 0    

                                   10x      - 25 = 0

        x = 25/10 = 2,5,  y = 3x - 3 = 3*2,5 - 3 = 4,5.

Точка К(2,5; 4,5).

Вектор АК = (2,5-1; 4,5-0) = (1,5; 4,5).

Модуль (длина) АК = √(1,5² + 4,5²) = √(2,25 + 20,25) = √22,5 ≈ 4,743416.

• уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC.

В уравнение ВС подставляем координаты точки А:

1 + 3*0 + С = 0, отсюда С = -1.

Уравнение АА1: x + 3y - 1 = 0.

• уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A.

Точка М - середина стороны ВС.

М = ((7+4)/2; (3+4)/2) = (5,5; 3,5).

Вектор АМ = (5,5-1; 3,5-0) = (4,5; 3,5).

Уравнение АМ: (x - 1)/4,5 = y /3,5 или в общем виде 7х - 9у - 7 = 0.

• угол (ϕ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB.

Вектор АМ =(4,5; 3,5) найден, его модуль √(20,25 +12,25) = √32,5 ≈ 5,700877125

Вектор АВ = (7-1; 3-0) = (6; 3), его модуль √(36+9) = √45 = 3√5 ≈ 6,708203932

cos (ϕ) = (4,5*6 +3,5*3)/(√32,5*3√5) = 37,5 /√1462,5 = 37,5/38,24264635 = 0,980580676.

Угол равен 0,19739556 радиан или 11,30993247  градуса.

• площадь треугольника ABC.

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 6.

• периметр треугольника ABC.

Расчет длин сторон    

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √52 =7,21110.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √9 = 3.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √25 = 5.

Периметр Р = 8 + √52 = 15,21110 .

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из пунктов по очереди.

1. Уравнение линии BC: Для того чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки B(7,3) и C(4,4), мы можем использовать точечную форму уравнения прямой:

   Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), имеет вид:

   (y - y₁) = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) * (x - x₁)

   В нашем случае: (y - 3) = ((4 - 3) / (4 - 7)) * (x - 7) (y - 3) = (1 / -3) * (x - 7) (y - 3) = (-1/3)x + 7/3

   Теперь мы можем записать уравнение линии BC: y = (-1/3)x + 7/3

2. Уравнение высоты AK: Высота AK перпендикулярна стороне BC, поэтому ее наклон равен обратному отношению наклона стороны BC, то есть 3/1 (поскольку уравнение BC имеет коэффициент -1/3). Мы также знаем, что она проходит через точку A(1,0). Теперь мы можем записать уравнение высоты AK:

   Уравнение прямой, проходящей через точку (x₁, y₁) с наклоном m, имеет вид: y - y₁ = m(x - x₁)

   В нашем случае: y - 0 = 3/1(x - 1) y = 3x

3. Длина высоты AK: Длина высоты AK равна расстоянию между точкой A(1,0) и прямой BC. Для нахождения расстояния между точкой и прямой можно использовать формулу:

   d = |Ax + By + C| / √(A² + B²)

   Где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой BC (A = -1/3, B = 1, C = -7/3), а (x, y) - координаты точки A(1,0).

   d = |(-1/3)(1) + (1)(0) - 7/3| / √((-1/3)² + 1²) d = |(-1/3) - 7/3| / √(1/9 + 1) d = |(-8/3)| / √(10/9) d = (8/3) / (√(10)/3) d = 8 / √10

4. Уравнение прямой l, проходящей через точку A и параллельной прямой BC: Уравнение прямой l будет иметь такой же наклон, как и BC, то есть -1/3, и она проходит через точку A(1,0). Мы можем использовать ту же формулу, что и для уравнения BC, чтобы найти уравнение l:

   y - 0 = (-1/3)(x - 1) y = (-1/3)x + 1/3

5. Уравнение медианы AM, проведенной через вершину A: Медиана AM соединяет вершину A с серединой стороны BC. Середина стороны BC имеет координаты ((7+4)/2, (3+4)/2) = (11/2, 7/2). Таким образом, уравнение медианы AM имеет вид:

   Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), имеет вид: y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) * (x - x₁)

   В нашем случае: y - 0 = ((7/2 - 0) / (11/2 - 1)) * (x - 1) y = (7/10)x - 7/10

6. Угол ϕ, образованный медианой AM и стороной AB: Мы знаем уравнение стороны AB: y = 3x. Угол между двумя прямыми можно найти, используя следующую формулу:

   tg(ϕ) = |(m₁ - m₂) / (1 + m₁ * m₂)|

   Где m₁ и m₂ - наклоны прямых. Для медианы AM наклон m₁ = 7/10, а для стороны AB наклон m₂ = 3.

   tg(ϕ) = |(7/10 - 3) / (1 + (7/10) * 3)| tg(ϕ) = |(7/10 - 30/10) / (1 + 21/10)| tg(ϕ) = |(-23/10) / (31/10)| tg(ϕ) = |-23/31|

   Теперь найдем угол ϕ, используя арктангенс: ϕ = arctan(|-23/31|)

7. Площадь треугольника ABC: Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона, если известны длины его сторон. Мы уже знаем длины сторон AB, BC и AC:

   AB = √(3² + 7²) = √(9 + 49