Question

Найти производную:f(x)=x⁶+lnx³+(4x+5)/(x²+1)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Давайте найдем производную функции f(x) по x, шаг за шагом.

Дано: f(x) = x⁶ + ln(x³) + (4x + 5) / (x² + 1)

1. Начнем с производной первого слагаемого: x⁶. Производная x⁶ по x равна 6x⁵.

2. Производная второго слагаемого: ln(x³). Используем правило цепочки. Производная ln(u) по x, где u - функция от x, равна (1/u) * u'. В данном случае u = x³, поэтому производная ln(x³) равна (1/x³) * 3x², что упрощается до 3x²/x³ = 3/x.

3. Производная третьего слагаемого: (4x + 5) / (x² + 1). Применяем правило частного производной. Для этого нужно найти производные числителя и знаменателя, а затем воспользоваться формулой:

   • Производная числителя (4x + 5) равна 4.
   • Производная знаменателя (x² + 1) равна 2x.

   Теперь, применяя правило частного производной ((f/g)' = (f'g - fg') / g²), получаем производную третьего слагаемого:

   [(4) * (x² + 1) - (4x + 5) * (2x)] / (x² + 1)².

   Упрощаем выражение: (4x² + 4 - 8x²) / (x² + 1)² = (4 - 4x²) / (x² + 1)².

Итак, производная функции f(x) по x равна:

f'(x) = 6x⁵ + 3/x + (4 - 4x²) / (x² + 1)².