Question

(100б) Найдите область значений функции y=(4x-12)/x^2

Answer 1

Объяснение:

Дана функция:

$\displaystyle y=\frac{4x-12}{x^2}$

Найти: Е(у)

Рассмотрим данную функцию:

ОДЗ: х≠0 ⇒ D(y)=(-∞;0)∪(0;+∞)

⇒ ось 0у график не пересекает.

Изобразим схематично данную функцию.

При х<0, y<0, то есть слева от оси 0у значения у отрицательны.

Рассмотрим правую часть функции:

График пересекает ось 0х в точке

4х-12=0

х=3

То есть до 0<х<3, y<0. При х>3, у>0.

Найдем экстремумы функции. Для этого найдем производную:

$\displaystyle y'=\frac{4*x^2-(4x-12)*2x}{x^4} =\frac{4x^2-8x^2+24x}{x^4} =\frac{24x-4x^2}{x^4} =\frac{4(6-x)}{x^3}$

y'=0 ⇒ х=6

Имеем две точки:

х=6;   х≠0

Отметим их на числовой оси (см. рис)

Видим, что при х∈(-∞;0)∪[6;+∞) функция убывает;

а при х∈(0;6] функция возрастает.

х=6 - точка max.

Изобразим график.

Найдем

$\displaystyle y_{max}=y(6)=\frac{4*6-12}{6^2}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$

⇒

$\displaystyle E(y)=(- \infty; \;\frac{1}{3})$

Answer 2

Для определения области значений функции y = (4x - 12)/x^2 мы должны определить, какие значения y могут принимать в зависимости от значений x. Область значений будет тем больше, чем больше диапазон значений y.

Функция y = (4x - 12)/x^2 можно разбить на две части: числитель (4x - 12) и знаменатель x^2.

1. Рассмотрим числитель (4x - 12): Это линейная функция, и она может принимать любые значения в зависимости от значения x. То есть, y = 4x - 12 не имеет ограничений на свои значения.

2. Рассмотрим знаменатель x^2: Знаменатель не может быть равен нулю (x^2 ≠ 0), так как это приведет к делению на ноль, что неопределено в математике.

Исходя из этих двух факторов, область значений функции y = (4x - 12)/x^2 будет всем множеством действительных чисел, за исключением x = 0, так как это значение приведет к делению на ноль. Таким образом, область значений функции будет:

Область значений y: (-∞, 0) ∪ (0, +∞)

Другими словами, функция может принимать любые действительные значения, кроме нуля.