Question

Составить уравнение касательной проведённой к графику функции y=x^3+4x^2-x+5 к точке графика с абсциссой x0=1 Срочно!!!

Answer 1

Ответ:

$y_{к} =10x - 1$

Объяснение:

уравнение касательной в точке:

$y_{к} = y(x_0)+y'(x_0)\cdot(x-x_0)$

1. Координаты у точки касания (х0, у0)

$y_{0} = y(x_0) = y(1)= \\ y_{0} = 1^3+4 \cdot1^2-1+5 \\ y_{0} = 1 + 4 - 1 + 5 = 9$

т.е. точка касания (1; 9)

2. Найдем у'(х)

$y'=(x^3+4x^2-x+5 )' = \\ = (x^3)'+(4x^2)'-(x)'+(5 )' = \\ = 3x^{2} + 4 \cdot 2x - 1 + 0 \\ \: y'= 3x^{2} + 8x - 1$

3. Найдем у'(1)

$y'(1)=3 \cdot1^{2} + 8\cdot1 - 1 = 3 + 8 - 1$

$y'(1)=10$

4. Построим уравнение касательной

$y_{к} = y_{0} + y_{0}'\cdot(x-1) \\ y_{к} =9 + 10(x - 1) =9 + 10x - 10 \\ y_{к} =10x - 1$

Answer 2

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции $y = x^3 + 4x^2 - x + 5$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$, мы должны найти производную функции и подставить $x_0$ для получения углового коэффициента (наклона касательной) в данной точке.

1. Найдем производную функции $y = x^3 + 4x^2 - x + 5$: $y' = 3x^2 + 8x - 1$

2. Теперь подставим $x_0 = 1$ в производную, чтобы найти значение производной в точке $x = 1$: $y'(1) = 3 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 1 = 3 + 8 - 1 = 10$

Таким образом, угловой коэффициент (наклон) касательной в точке $x = 1$ равен $m = 10$.

Уравнение касательной имеет вид: $y - y_0 = m(x - x_0)$

Подставляя значение $x_0 = 1$, $y_0 = f(1)$, и $m = 10$, получаем: $y - f(1) = 10(x - 1)$

Теперь подставим функцию $f(x) = x^3 + 4x^2 - x + 5$: $y - (1^3 + 4 \cdot 1^2 - 1 + 5) = 10(x - 1)$ $y - 9 = 10(x - 1)$

Это и есть уравнение касательной к графику функции $y = x^3 + 4x^2 - x + 5$ в точке $x = 1$.