Question

Решение уравнения: b) y’*sin(x)-y*cos(x)=0 при y(n/2)=1

Answer 1

Ответ:

Общее решение дифференциального уравнения

                                      y = C·sin(x)

Частное решение диф.уравнения с начальным условием у(π/2) = 1

                                       y = sin(x)

Объяснение:

Решение уравнения:

y’·sin(x) - y·cos(x) = 0                            при y(π/2) = 1

Данное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

y’·sin(x) = y·cos(x)

Разделим обе части уравнения на y·sin(x)

y’/у = cos(x)/sin(x)

                                 $\frac{y'}{y}=\frac{cos(x)}{sin(x)}$

                                  $\frac{dy}{y}=\frac{cos(x)}{sin(x)}dx$

Интегрируем обе части уравнения

                        $\int\limits\frac{dy}{y}=\int\limits\frac{cos(x)}{sin(x)}dx$  

                          ln|y| = ln|sin(x)| + lnC

                             y = C·sin(x)

Получили общее решение диф.уравнения

Частное решение получим подставим начальное условие   у(π/2) = 1

                             1 = С·sin(π/2)

                              С = 1

Следовательно частное решение диф.уравнения

                         у = sin(x)

Проверим решение подстановкой

y' = (sin(x))' = cos(x)

y’·sin(x) - y·cos(x) = cos(x)·sin(x) - sin(x)·cos(x) = 0

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода разделяющихся переменных. Давайте начнем с уравнения:

$y'\sin(x) - y\cos(x) = 0$

Для начала, давайте разделим обе стороны на $y\sin(x)$:

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Теперь можем проинтегрировать обе стороны:

$\int \frac{1}{y} \, dy = \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \, dx$

Интегрирование левой стороны даст нам $\ln|y|$, а интегрирование правой стороны даст $\ln|\sin(x)|$:

$\ln|y| = \ln|\sin(x)| + C$

Где $C$ - это постоянная интегрирования. Теперь можно избавиться от натурального логарифма, взяв экспоненту от обеих сторон:

$|y| = e^{\ln|\sin(x)| + C}$

$|y| = e^C \cdot |\sin(x)|$

Так как $e^C$ - это просто некоторая константа, давайте переобозначим ее как $K$:

$|y| = K \cdot |\sin(x)|$

Теперь мы можем рассмотреть два случая, в зависимости от знаков $y$ и $\sin(x)$:

1. Если $y$ и $\sin(x)$ положительны: Тогда $y = K \cdot \sin(x)$.

2. Если $y$ положительно, а $\sin(x)$ отрицателен: Тогда $y = -K \cdot \sin(x)$.

3. Если $y$ отрицательно, а $\sin(x)$ положителен: Тогда $y = -K \cdot \sin(x)$.

4. Если и $y$, и $\sin(x)$ отрицательны: Тогда $y = K \cdot \sin(x)$.

Итак, общее решение уравнения: $y = K \cdot |\sin(x)|$, где $K$ - произвольная константа.

Теперь, если нам дано начальное условие $y\left(\frac{n}{2}\right) = 1$, мы можем подставить это значение и найти конкретное значение для константы $K$. Так как $|\sin\left(\frac{n}{2}\right)| = \sin\left(\frac{n}{2}\right)$, поскольку $\sin$ всегда положителен на интервале $\left[0, \pi\right]$, у нас есть:

$1 = K \cdot \sin\left(\frac{n}{2}\right)$

Отсюда:

$K = \frac{1}{\sin\left(\frac{n}{2}\right)}$

Итак, частное решение с учетом начального условия будет:

$y = \frac{1}{\sin\left(\frac{n}{2}\right)} \cdot \sin(x)$

Пожалуйста, обратите внимание, что в некоторых точках, где $\sin\left(\frac{n}{2}\right) = 0$, это решение может не существовать.