Question

Доведіть , що при всіх а>3 вираз ( той що нижче ) набуває тільки додатних значень ​

Answer 1

$\frac{a+3}{a-3}-\frac{a-3}{a+3}+\frac{36}{a^{2}-9}=\frac{a+3}{a-3}-\frac{a-3}{a+3}+\frac{36}{(a-3)(a+3)}=\frac{(a+3)(a+3)-(a-3)(a-3)+36}{(a-3)(a+3)}=\\\\=\frac{a^{2}+6a+9-a^{2}+6a-9+36}{(a-3)(a+3)}=\frac{12a+36}{(a-3)(a+3)}=\frac{12(a+3)}{(a-3)(a+3)}=\frac{12}{a-3}$

При a > 3 - знаменатель принимает только положительные значения, значит значение дроби всегда положительное число .

Answer 2

Щоб довести, що вираз а^2 - 4а + 3 набуває тільки додатних значень для всіх а > 3, можемо скористатись методом дослідження знаків.

1. Розглянемо вираз а^2 - 4а + 3 при а > 3: Підставимо а = 3 в вираз: 3^2 - 4 * 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0. Отже, вираз при а = 3 дорівнює нулю.

2. Перевіримо знак виразу при а > 3: a) При а > 3: Подивимося, як змінюється знак виразу при збільшенні а. Розглянемо числа, більші за 3, наприклад, а = 4: 4^2 - 4 * 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3. Отже, при а = 4 вираз додатний. b) При а < 3: Подивимося, як змінюється знак виразу при зменшенні а. Розглянемо числа, менші за 3, наприклад, а = 2: 2^2 - 4 * 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Отже, при а = 2 вираз від'ємний.

3. Отже, за результатами дослідження знаків виразу а^2 - 4а + 3 при а > 3, можемо зробити висновок, що він набуває тільки додатних значень при всіх а > 3.