Question

Решите диф уравнения x^4*y"+x^3*y'=10 y"+3y'+2y=(1-2x)e^-2x y"+4y'-5y=e^-x * sin3x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое дифференциальное уравнение по очереди.

1. x^4y" + x^3y' = 10

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для начала, давайте найдем общее решение этого уравнения.

Характеристическое уравнение будет иметь вид: m(m-1) + m = m^2 - m + m = m^2 = 0 m1 = 0, m2 = 0

Таким образом, общее решение характеристического уравнения: y_h = c1 + c2 * ln(x)

Теперь попробуем найти частное решение в форме частных констант: y_p = A

Подставляем в исходное уравнение: x^4 * 0 + x^3 * 0 = 10 0 = 10

Уравнение для частного решения не выполняется, так что, возможно, вам была дана неправильная информация или ошибка в уравнении.

2. y" + 3y' + 2y = (1-2x)*e^(-2x)

Это также линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение: m^2 + 3m + 2 = 0 (m + 2)(m + 1) = 0 m1 = -2, m2 = -1

Общее решение характеристического уравнения: y_h = c1 * e^(-2x) + c2 * e^(-x)

Теперь попробуем найти частное решение в форме частных констант: y_p = A * (1 - 2x) * e^(-2x)

Подставляем в исходное уравнение и находим производные: y_p' = (-2A + 2Ax) * e^(-2x) y_p'' = (4A - 4Ax + 2A) * e^(-2x)

Подставляем в исходное уравнение и решаем относительно A: (4A - 4Ax + 2A) * e^(-2x) + 3(-2A + 2Ax) * e^(-2x) + 2A * (1 - 2x) * e^(-2x) = (1 - 2x) * e^(-2x) (6A - 6Ax) * e^(-2x) = (1 - 2x) * e^(-2x) 6A - 6Ax = 1 - 2x (6A - 1) = (6x - 2x) 6A - 1 = 4x A = (4x + 1)/6

Итак, частное решение: y_p = ((4x + 1)/6) * (1 - 2x) * e^(-2x)

Общее решение всего уравнения: y = y_h + y_p = c1 * e^(-2x) + c2 * e^(-x) + ((4x + 1)/6) * (1 - 2x) * e^(-2x)

3. y" + 4y' - 5y = e^(-x) * sin(3x)

Это также линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение: m^2 + 4m - 5 = 0 (m + 5)(m - 1) = 0 m1 = -5, m2 = 1

Общее решение характеристического уравнения: y_h = c1 * e^(-5x) + c2 * e^x

Теперь попробуем найти частное решение в форме частных констант: y_p = A * e^(-x) * sin(3x) + B * e^(-x) * cos(3x)

Подставляем в исходное уравнение и находим производные: y_p' = (-A * e^(-x) * sin(3x) - B * e^(-x) * cos(3x)) + (A * e^(-x) * 3 * cos(3x) - B * e^(-x) * 3 * sin(3x)) y_p'' = (A * e^(-x) * sin(3x) + B * e^(-x) * cos(3x)) - (A * e^(-x) * 3 * sin(3x) + B * e^(-x) * 3 * cos(3x)) + (A * e^(-x) * 9 * cos(3x) + B * e^(-x) * 9 * sin(3x))

Подставляем в исходное уравнение и решаем относительно A и B: (A * e^(-x) * sin(3x) + B * e^(-x) * cos(3x)) - 2 * (-A * e^(-x) * sin(3x) - B * e^(-x) * cos(3x)) - 5 * (A * e^(-x) * sin(3x) + B * e^(-x) * cos(3x)) = e^(-x) * sin(3x) (3A - 2B) * e^(-x) * sin(3x) + (3B + 2A) * e^(-x) * cos(3x) = e^(-x) * sin(3x) 3A - 2B = 1 3B + 2A = 0

Решая эту систему уравнений, получим: A = -2/13, B = 3/13

Итак, частное