Question

Решите уравнение 8arcctg^2x +2πarcctgx-π^2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

$8 \arcctg {}^{2} (x) + 2\pi \arcctg(x) - \pi {}^{2} = 0 \\ \arcctg(x) = t, \: t \in ( 0 ; \pi ) \\ 8 {t}^{2} + 2\pi t - {\pi}^{2} = 0 \\ D = (2\pi) {}^{2} - 4 \times 8( - {\pi}^{2} ) = 4 {\pi}^{2} + 32 {\pi}^{2} = 36 {\pi}^{2} \\ \sqrt{D} = 6\pi \\ t_{1} = \frac{ - 2\pi + 6\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4} \\ t_{2} = \frac{ - 2 \pi- 6\pi}{16} = - \frac{8\pi}{16} = - \frac{\pi}{2} \\t_{2} = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow t_{2} \in \varnothing \\ t = \frac{\pi}{4} \\ \arcctg(x) = \frac{\pi}{4} \\ x = \ctg(\frac{\pi}{4})\\ x = 1$

Ответ: 1

Answer 3

Для решения данного уравнения относительно переменной $x$, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Представим $\text{arcctg}^2x$ в виде $(\text{arcctgx})^2$.
2. Заменим $\text{arcctg}x$ на некоторую переменную, например, $t$, чтобы упростить запись уравнения.
3. Подставим эти выражения в уравнение и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$.

Итак, у нас есть:

$8(\text{arcctg}^2x) + 2\pi(\text{arcctg}x) - \pi^2$

Подставим $\text{arcctg}x = t$:

$8t^2 + 2\pi t - \pi^2$

Теперь это квадратное уравнение относительно $t$. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

$at^2 + bt + c = 0$

где $a = 8$, $b = 2\pi$, и $c = -\pi^2$.

Используя формулу дискриминанта, находим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (2\pi)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-\pi^2) = 4\pi^2 + 32\pi^2 = 36\pi^2$

Теперь можем использовать решение квадратного уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t = \frac{-2\pi \pm 6\pi}{16}$

Таким образом, получаем два значения для $t$:

1. $t_1 = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$
2. $t_2 = \frac{-8\pi}{16} = -\frac{\pi}{2}$

Теперь, чтобы найти соответствующие значения $x$, вспомним, что $\text{arcctg}x = t$. Таким образом, $x$ для $t_1$ и $t_2$ будет:

1. $x_1 = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
2. $x_2 = \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$

Итак, решением уравнения $8\text{arcctg}^2x + 2\pi\text{arcctg}x - \pi^2 = 0$ являются $x = 1$ и $x = 0$.