Question

Найти неопределённый интеграл dx/(2x+3)^5

Answer 1

$\int\limits {\frac{1}{(2x+3)^5 }} } \, dx = \frac{1}{2} \int\limits {\frac{d(2x+3)}{(2x+3)^{5}} } \, = \frac{1}{2}\int\limits {(2x+3)^{-5}d(2x+3)} \, = \frac{1}{2}*\frac{(2x+3)^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{8(2x+3)^{4}} + C$

Максимально подробно расписал

Answer 2

Чтобы найти неопределенный интеграл $\int \frac{{dx}}{{(2x+3)^5}}$, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте начнем с замены $u = 2x+3$. Тогда, $du = 2dx$.

Мы можем выразить $dx$ из этого равенства: $dx = \frac{{du}}{2}$.

Теперь мы можем переписать исходный интеграл: $\int \frac{{dx}}{{(2x+3)^5}} = \int \frac{{\frac{{du}}{2}}}{{u^5}} = \frac{1}{2} \int \frac{{du}}{{u^5}}.$

Интеграл $\int \frac{{du}}{{u^5}}$ можно вычислить как: $\int \frac{{du}}{{u^5}} = -\frac{1}{{4u^4}} + C,$ где $C$ - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем: $\int \frac{{dx}}{{(2x+3)^5}} = \frac{1}{2} \int \frac{{du}}{{u^5}} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{{4u^4}}\right) + C = -\frac{1}{{8(2x+3)^4}} + C,$ где $C$ - постоянная интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл $\int \frac{{dx}}{{(2x+3)^5}}$ равен $-\frac{1}{{8(2x+3)^4}} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.