Question

Найдите объем тела, полученного вращением y=2x^2 вокруг оси Ox от x=0 до x=2

Answer 1

Ответ: V=128*π/5 куб. ед.

Объяснение:

V=F(2)-F(0), где F(x)=π*∫y²(x)*dx=4*π*∫x⁴*dx=4*π/5*x⁵+C. Отсюда V=4/5*π*2⁵=128*π/5.

Answer 2

Для вычисления объема тела, полученного вращением кривой y = 2x^2 вокруг оси Ox на интервале от x = 0 до x = 2, мы можем использовать метод цилиндров.

Этот метод заключается в вычислении объема бесконечно тонких цилиндров, которые образуются в результате вращения кривой вокруг оси. Для каждого значения x в интервале [0, 2] мы можем рассматривать тонкий вертикальный полоскок dx и вращать его вокруг оси Ox для создания цилиндра. Площадь поперечного сечения такого цилиндра будет равна π * (2x^2)^2 = 4πx^4.

Тогда, объем каждого такого цилиндра будет равен площади поперечного сечения, умноженной на толщину dx: dV = 4πx^4 dx.

Для вычисления общего объема, мы должны проинтегрировать dV по x от 0 до 2:

V = ∫(от 0 до 2) 4πx^4 dx.

Вычислим этот интеграл:

V = 4π * (1/5) * x^5 |(от 0 до 2) V = (4π/5) * (32 - 0) V = (128π/5).

Итак, объем тела, полученного вращением кривой y = 2x^2 вокруг оси Ox на интервале от x = 0 до x = 2, равен (128π/5) кубических единиц.