Question

Sin15°-sin105°= sin15°+sin105°= cos105°+cos75°= cos75°-cos75°= Надо превратить на умножение

Answer 1

Решение:

1.

sin15°- sin105° = 2cos(0.5(15° + 105°))· sin 0.5(15° - 105°) =

= - 2 cos 60° · sin 45°

2.

sin15°+ sin105° = 2sin(0.5(15° + 105°))· cos 0.5(15° - 105°) =

=  2 sin 60° · cos 45°

3.

cos105° + cos75° = 2cos (0.5(105° + 75°)) · cos (0.5(105° - 75°)) =

= 2 cos 90° · cos 15°

4.

cos75° - cos105° = -2 sin(0.5(75° + 105°)) · sin (0.5(75° - 105°)) =

= 2 sin 90° · sin15°

Answer 2

Давайте посмотрим на каждое из уравнений по очереди и преобразуем их с использованием тригонометрических тождеств:

1. $\sin(15^\circ) - \sin(105^\circ)$

Используем тригонометрическое тождество для разности синусов:

$\sin(A) - \sin(B) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

В данном случае $A = 15^\circ$ и $B = 105^\circ$:

$\sin(15^\circ) - \sin(105^\circ) = 2\cos\left(\frac{15^\circ + 105^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{15^\circ - 105^\circ}{2}\right)$

$= 2\cos(60^\circ)\sin(-45^\circ)$

2. $\sin(15^\circ) + \sin(105^\circ)$

Используем снова тригонометрическое тождество для суммы синусов:

$\sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

Подставляя значения, получим:

$\sin(15^\circ) + \sin(105^\circ) = 2\sin\left(\frac{15^\circ + 105^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{15^\circ - 105^\circ}{2}\right)$

$= 2\sin(60^\circ)\cos(-45^\circ)$

3. $\cos(105^\circ) + \cos(75^\circ)$

Используем тригонометрическое тождество для суммы косинусов:

$\cos(A) + \cos(B) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

Подставляя значения, получим:

$\cos(105^\circ) + \cos(75^\circ) = 2\cos\left(\frac{105^\circ + 75^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{105^\circ - 75^\circ}{2}\right)$

$= 2\cos(90^\circ)\cos(15^\circ)$

4. $\cos(75^\circ) - \cos(75^\circ)$

Это просто разность двух одинаковых значений, так что результат будет нулевым:

$\cos(75^\circ) - \cos(75^\circ) = 0$

Итак, мы получили четыре выражения в разных формах. Теперь можно упростить их и преобразовать в произведения:

1. $2\cos(60^\circ)\sin(-45^\circ) = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot(-\sqrt{2}/2) = -\sqrt{2}$

2. $2\sin(60^\circ)\cos(-45^\circ) = 2\cdot\sqrt{3}/2\cdot(\sqrt{2}/2) = \sqrt{3}$

3. $2\cos(90^\circ)\cos(15^\circ) = 0\cdot\cos(15^\circ) = 0$

4. $0$

Таким образом:

$-\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 0 \cdot 0 = 0$

В итоге, получаем, что исходные выражения равны нулю.