Question

Найти производную f(x)=x^3/(x^2+5)

Answer 1

F’(x)=x^4+15x^2/(x^2+5)

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 5}$ можно воспользоваться правилом дифференцирования частного и правилом дифференцирования сложной функции.

1. Сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно:

   a) Производная числителя $x^3$ по переменной $x$ равна $3x^2$. b) Производная знаменателя $x^2 + 5$ по переменной $x$ равна $2x$.

2. Теперь воспользуемся правилом дифференцирования частного. Для функции $f(x) = \frac{u}{v}$, где $u$ и $v$ - функции от $x$, производная вычисляется следующим образом:

   $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

   В нашем случае:

   $u' = 3x^2,$ $v' = 2x,$ $u = x^3,$ $v = x^2 + 5.$

3. Подставляем значения в формулу:

   $f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2 + 5) - (x^3)(2x)}{(x^2 + 5)^2}$

4. Упрощаем выражение:

   $f'(x) = \frac{3x^4 + 15x^2 - 2x^4}{(x^2 + 5)^2}$

5. Сокращаем члены:

   $f'(x) = \frac{x^4 + 15x^2}{(x^2 + 5)^2}$

Это и есть производная функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{x^4 + 15x^2}{(x^2 + 5)^2}$