Question

Решите методом интервалов неравенство x(2x-1)(3x+8)>=0 Спасибо заранее

Answer 1

.............................

Answer 2

Чтобы решить это неравенство методом интервалов, нам нужно найти интервалы значений x, для которых выражение $x(2x-1)(3x+8)$ больше или равно нулю.

Для этого начнем с нахождения точек, в которых это выражение равно нулю. Эти точки называются критическими точками. Уравнение $x(2x-1)(3x+8) = 0$ имеет три корня:

1. $x = 0$
2. $2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$
3. $3x + 8 = 0 \Rightarrow 3x = -8 \Rightarrow x = -\frac{8}{3}$

Теперь мы можем использовать эти критические точки, чтобы разбить число x на интервалы и определить знак выражения в каждом интервале.

Интервал 1: $-\infty < x < -\frac{8}{3}$

Выберем точку в этом интервале, например, $x = -2$, и проверим знак выражения: $x(2x-1)(3x+8) = (-2)(2(-2)-1)(3(-2)+8) = (-2)(-5)(2) = 20$ Выражение положительно в этом интервале.

Интервал 2: $-\frac{8}{3} < x < \frac{1}{2}$

Выберем точку в этом интервале, например, $x = 0$, и проверим знак выражения: $x(2x-1)(3x+8) = (0)(2(0)-1)(3(0)+8) = 0$ Выражение равно нулю в этом интервале.

Интервал 3: $x > \frac{1}{2}$

Выберем точку в этом интервале, например, $x = 1$, и проверим знак выражения: $x(2x-1)(3x+8) = (1)(2(1)-1)(3(1)+8) = (1)(1)(11) = 11$ Выражение положительно в этом интервале.

Таким образом, неравенство $x(2x-1)(3x+8) \geq 0$ выполняется в следующих интервалах:

1. $-\infty < x < -\frac{8}{3}$
2. $x > \frac{1}{2}$

Итак, ответом на данное неравенство является: $x \in \left(-\infty, -\frac{8}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$