Question

Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии соответственно равны 2k+1; k + 2; 8 - k а) Найдите значение k . b) Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Answer 1

Ответ:    $S=27$  .

$b_1=2k+1\ \ ,\ \ b_2=k+2\ \ ,\ \ b_3=8-k\\\\1)\ \ b_2^2=b_1\cdot b_3\ \ \ \to \ \ \ (k+2)^2=(2k+1)(8-k)\ \ ,\ \ \ k^2+4k+4=15k-2k^2+8\ \ ,\\\\3k^2-11k-4=0\ \ ,\ \ k_{1,2}=\dfrac{11\pm 13}{6}\ ,\ k_1=-\dfrac{1}{3}\ ,\ k_2=4\\\\2)\ \ k_1=-\frac{x}{y} -\dfrac{2}{3}:\ \ b_1=\dfrac{1}{3}\ ;\ b_2=\dfrac{5}{3}\ ,\ b_3=\dfrac{25}{3}\ ,\ ...\\\\q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{5/3}{1/3}=5>1$

Так как   $q>1$  ,  то прогрессия не является бесконечно убывающей .

$3)\ \ k=4:\ \ b_1=9\ ,\ b_2=6\ ,\ b_3=4\\\\q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$

Answer 2

Для нахождения значения k и суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам нужно использовать формулы для геометрической прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен a, а множитель (знаменатель) равен q. Тогда второй член будет равен a * q, а третий член a * q^2.

a = 2k + 1 a * q = k + 2 a * q^2 = 8 - k

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

1. Выразим q из первого уравнения: a = 2k + 1 q = (k + 2) / (2k + 1)

2. Теперь подставим это значение q во второе уравнение: a * q = k + 2 (2k + 1) * [(k + 2) / (2k + 1)] = k + 2

Сократим (2k + 1) с самим собой: k + 2 = k + 2

Это уравнение верно для любого значения k. Таким образом, k может быть любым числом.

3. Теперь найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммы такой прогрессии:

S = a / (1 - q)

Где a - первый член прогрессии, q - множитель.

Из первого уравнения мы знаем, что a = 2k + 1, а из второго уравнения выразили q.

S = (2k + 1) / [1 - (k + 2) / (2k + 1)]

S = (2k + 1) / [(2k + 1 - k - 2) / (2k + 1)]

S = (2k + 1) / [(k - 1) / (2k + 1)]

Теперь упростим выражение, инвертируя делитель: S = (2k + 1) * [(2k + 1) / (k - 1)]

S = (2k + 1)^2 / (k - 1)

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна (2k + 1)^2 / (k - 1).