Question

Решите уравнение и укажите наименьший положительный корень cos(2x-п/3)=1/2

Answer 1

Ответ:

$cos(2x-\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\\\\\\2x-\dfrac{\pi}{3}=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\2x=\dfrac{\pi}{3}\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\x=\dfrac{\pi}{6}\pm \dfrac{\pi}{6}+\pi n=\left[\begin{array}{l}\pi n\ ,\ n\in Z\\\dfrac{\pi}{3}+\pi n\ ,\ n\in Z\end{array}\right\ \ \ -\ \ otvet$

Наименьший положительный корень:   $x=\dfrac{\pi}{3}>0$  .

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x - π/3) = 1/2, нам нужно найти значения x, при которых косинус этого угла равен 1/2.

Заметим, что значение косинуса 1/2 соответствует углам, для которых:

1. 2x - π/3 = π/3 + 2πk, где k - целое число. (Первая точка, когда cos(2x - π/3) = 1/2)

или

2. 2x - π/3 = 5π/3 + 2πk, где k - целое число. (Вторая точка, когда cos(2x - π/3) = 1/2)

Теперь решим каждое уравнение по отдельности:

1. 2x - π/3 = π/3 + 2πk 2x = π/3 + π/3 + 2πk 2x = 2π/3 + 2πk x = π/3 + πk

2. 2x - π/3 = 5π/3 + 2πk 2x = 5π/3 + π/3 + 2πk 2x = 2π + 2πk x = π + πk

Теперь найдем наименьший положительный корень для каждого из этих случаев.

Для первого случая: x = π/3 + πk, наименьший положительный корень будет, когда k = 0, то есть x = π/3.

Для второго случая: x = π + πk, наименьший положительный корень будет, когда k = 0, то есть x = π.

Итак, наименьшие положительные корни уравнения cos(2x - π/3) = 1/2 это x = π/3 и x = π.