Question

ВАРИАНТ 3 1. Сфера задана уравнением:х2+ (у — 5)2 + (z + 1)2 = 25а) выпишите координаты центра сферы и найдите ее радиус,б) проверьте, принадлежит ли этой сфере точка А (-1; 2; 4).2. Составьте уравнение сферы, если E (1; 0;-2) – центр сферы, а радиус равен корень из 6.3. Напишите уравнение сферы с центром в точке 0 (0; -4; 9), и проходящей через точку м (6; 1; 0).4. Приведите данное уравнение к стандартному виду уравнения сферы и найдите координаты еецентра и величину радиуса х2 +y2 +z2 + 2y — 4z = 4.​

Answer 1

Объяснение:

Общее уравнение сферы

$(x- x{_0})^{2} +(y-y{_0})^{2} +(z-z{_0})^{2} = R^{2} ,$

где  $(x{_0}; y{_0}; z{_0})-$   центр сферы, а R - радиус окружности

1.

$x^{2} +(y-5) ^{2} +(z+1) ^{2} =25.$

a) $(0; 5; -1) -$ центр сферы ,  R=5 - радиус.

б) Для того чтобы проверить принадлежит ли точка сфере, надо подставить координаты точки в уравнение сферы, если получим верное числовое равенство, то точка принадлежит сфере.

A(- 1; 2; 4)

$(-1)^{2} +(2-5) ^{2} +(4+1) ^{2} \neq 25;\\1+(-3) ^{2} +5 ^{2} \neq 25\\1+9+25\neq 25;\\35\neq 25$

Так как равенство неверно, то точка А не принадлежит сфере.

2.

Е( 1; 0;-2) -центр сферы , $R=\sqrt{6}$

Тогда уравнение сферы принимает вид:

$(x- 1)^{2} +(y-0)^{2} +(z-(-2)})^{2} =(\sqrt{6} )^{2} ;\\(x- 1)^{2} +y^{2} +(z+2})^{2} =6$

3. Если точка О( 0; -4; 9 ) - центр сферы, то уравнение сферы принимает вид:

$(x- 0})^{2} +(y-(-4))^{2} +(z-9)^{2} = R^{2} ;\\x^{2} +(y+4)^{2} +(z-9) ^{2} =R^{2}$

Если сфера проходит через точку М (6; 1;0) , то подставим координаты данной точки в уравнение сферы.

$6^{2} +(1+4)^{2} +(0-9) ^{2} =R^{2};\\36+25+81=R^{2} ;\\R^{2} =142 .$

Тогда уравнение сферы принимает вид.

$x^{2} +(y+4)^{2} +(z-9) ^{2} =142.$

4. Выделим полный квадрат, применяя формулы сокращенного умножения

$(a+b)^{2} =a^{2} +2ab+b^{2} ;\\(a-b)^{2} =a^{2} -2ab+b^{2} .$

$x^{2} +y^{2} +z^{2} +2y-4z=4;\\x^{2} +y^{2} +2\cdot 1\cdot y +1+z^{2} -2\cdot2\cdot z+4=4+1+4;\\x^{2} +(y+1) ^{2} +(z-2) ^{2} =9$

Тогда точка ( 0; -1; 2) - центр сферы, а радиус равен 3.

Answer 2

Давайте по порядку решим каждую из задач:

1. Сфера задана уравнением: x^2 + (у — 5)^2 + (z + 1)^2 = 25.

   а) Чтобы найти координаты центра сферы и её радиус, сравним уравнение с общим уравнением сферы:

   (x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2,

   где (h, k, l) - координаты центра, а r - радиус сферы.

   Сравнивая с данным уравнением, получаем:

   h = 0, k = 5, l = -1, r = √25 = 5.

   Таким образом, центр сферы находится в точке (0, 5, -1), а радиус равен 5.

   б) Чтобы проверить, принадлежит ли точка A (-1; 2; 4) этой сфере, подставим её координаты в уравнение сферы и проверим равенство:

   (-1)^2 + (2 - 5)^2 + (4 + 1)^2 = 1 + 9 + 25 = 35.

   Так как 35 не равно 25, точка A не принадлежит данной сфере.

2. Уравнение сферы с центром E (1; 0; -2) и радиусом √6 будет иметь вид:

   (x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (z + 2)^2 = (√6)^2, (x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 6.

3. Уравнение сферы с центром в точке 0 (0; -4; 9) и проходящей через точку M (6; 1; 0) будет иметь вид:

   (x - 0)^2 + (y + 4)^2 + (z - 9)^2 = r^2.

   Теперь подставим координаты точки M (6; 1; 0):

   (6 - 0)^2 + (1 + 4)^2 + (0 - 9)^2 = r^2, 6^2 + 5^2 + (-9)^2 = r^2, 36 + 25 + 81 = r^2, 142 = r^2.

   Таким образом, уравнение сферы имеет вид:

   x^2 + (y + 4)^2 + (z - 9)^2 = 142.

4. Уравнение x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4 можно привести к стандартному виду уравнения сферы путем дополнения квадратных слагаемых по следующему правилу:

   x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4, x^2 + y^2 + z^2 + 2y + 1 - 4z - 1 = 4, x^2 + (y^2 + 2y + 1) + (z^2 - 4z + 4) = 5, x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 5.

   Теперь уравнение сферы имеет стандартный вид:

   (x - 0)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = √5^2, x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 5.

   Таким образом, координаты центра сферы - (0, -1, 2), а радиус равен √5.