Question

Знайдіть область визначення функції f(x) = √(4x-x^2) + 8/√(x-2)

Answer 1

Ответ:

D(f)=(2; 4]

Объяснение:

$f(x)=\sqrt{4x-x^{2} } +\dfrac{8}{\sqrt{x-2} }$

Так как арифметический квадратный корень определен на множестве неотрицательных чисел и знаменатель не может быть равен нулю, то найдем область определения функции, решив систему неравенств.

$\left \{\begin{array}{l} 4x-x^{2}\geq 0, \\ x-2 >0; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x^{2} -4x\leq 0, \\ x >2; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} (x-4)x\leq 0, \\ x >2; \end{array} \right.\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} 0\leq x\leq 4, \\ x >2; \end{array} \right.\Leftrightarrow2$

Значит, область определения функции

D(f)=(2; 4]

Answer 2

Для знаходження області визначення функції f(x) = √(4x-x^2) + 8/√(x-2), ми повинні врахувати два обмеження:

1. Корінь квадратний (√) з виразу 4x - x^2 має бути дійсним числом. Це означає, що вираз під коренем повинен бути не менше 0:

4x - x^2 ≥ 0

2. Знаменник 8/√(x-2) також має бути дійсним числом, і це вимагає, щоб x - 2 був більшим за 0:

x - 2 > 0

Тепер давайте розв'яжемо ці два нерівності:

1. 4x - x^2 ≥ 0: Спростимо цей вираз: x(4 - x) ≥ 0

   Тепер знайдемо корені цього виразу, розв'язавши рівняння: x(4 - x) = 0

   Рішення цього рівняння: x = 0 і x = 4

   Тепер розглянемо знак виразу x(4 - x) в трьох інтервалах: (-∞, 0), (0, 4), (4, ∞).

   • У інтервалі (-∞, 0) x < 0 і (4 - x) > 0, отже, x(4 - x) < 0 в цьому інтервалі.
   • У інтервалі (0, 4) 0 < x < 4 і (4 - x) > 0, отже, x(4 - x) > 0 в цьому інтервалі.
   • У інтервалі (4, ∞) x > 4 і (4 - x) < 0, отже, x(4 - x) < 0 в цьому інтервалі.

2. x - 2 > 0: Додаємо 2 до обох сторін: x > 2

Зараз ми можемо об'єднати області, де обидва обмеження виконуються:

• x має бути більшим за 2 (з другого обмеження).
• x має бути меншим за 4 (з першого обмеження).

Отже, область визначення функції f(x) = √(4x-x^2) + 8/√(x-2) це інтервал (2, 4).