Question

Розв’язати нерівність:1) x^2 + 2x + 1>0;2) x^2 – x – 5 ≤ 0.​

Answer 1

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Answer 2

Давайте розглянемо ці дві нерівності окремо:

1. x^2 + 2x + 1 > 0

Спростимо цю квадратну нерівність, факторизуючи її:

(x + 1)^2 > 0

Тепер ми бачимо, що вираз (x + 1)^2 завжди буде більшим за нуль, оскільки квадрат будь-якого числа завжди не менше нуля (і в деяких випадках, коли число не рівне нулю, буде більше нуля). Тобто, розв'язком цієї нерівності є будь-яке значення x.

2. x^2 - x - 5 ≤ 0

Спростимо цю квадратну нерівність, факторизуючи її:

(x - 2)(x + 1) ≤ 0

Тепер ми можемо використовувати метод інтервалів для знаходження розв'язків цієї нерівності. Щоб це зробити, розглянемо діапазони, в яких вираз (x - 2)(x + 1) менше або рівний нулю.

1. Коли x < -1: Вираз (x - 2)(x + 1) від'ємний при цих значеннях x, оскільки обидва множники (x - 2) і (x + 1) від'ємні. Тобто, цей діапазон підходить.

2. Коли -1 ≤ x ≤ 2: Вираз (x - 2)(x + 1) не від'ємний і не додатний в цьому діапазоні. Тобто, цей діапазон не підходить.

3. Коли x > 2: Вираз (x - 2)(x + 1) знову від'ємний при цих значеннях x, оскільки обидва множники стали додатніми. Тобто, цей діапазон підходить.

Отже, розв'язками нерівності x^2 - x - 5 ≤ 0 є всі значення x, які належать діапазонам x < -1 і x > 2:

x < -1 або x > 2