Question

3. Последовательности заданы несколькими первыми членами. [6] Укажите для каждой последовательности соответствующее ей утверждение: 1) Последовательность является арифметической прогрессией. 2) Последовательность является геометрической прогрессией. 3) Последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией. Обоснуй свой ответ. 1; 2; 4; 8;… - 1; 3; 5; 7;… - 1; 8; 27; 64;…

Answer 1

Ответ:

$\{b_{n}\}:\ 1\ ;\ 2\ ;\ 4\ ;\ 8\ ;\ ...$  геометрическая прогрессия, так как каждый последующий член последовательности отличается от предыдущего в два раза:    $\dfrac{2}{1}=2\ \ ;\ \ \dfrac{4}{8}=2\ \ ;\ \ \dfrac{8}{4}=2$  .

$\{a_{n}\}:\ 1\ ;\ 3\ ;\ 5\ ;\ 7\ ;\ ...$   арифметическая прогрессия, так как каждый последующий член последовательности отличается от предыдущего на два :    $3-1=2\ \ ;\ \ 5-3=2\ \ ;\ \ 7-5=2\ \ .$

$1\ ;\ 8\ ;\ 27\ ;\ 64\ ;\ ...$    последовательность не является ни арифм. прогрессией, ни геом. прогрессией, так как

$\dfrac{8}{1}\ne \dfrac{27}{8}\ne \dfrac{64}{27}$     и      $(8-1)\ne (27-8)\ne (64-27)\ \ .$

Можно заметить, что общий член заданной последовательности имеет вид    $c_{n}=n^3$  .

Answer 2

Для определения типа последовательности (арифметической, геометрической или ни одной из них), давайте посмотрим на разности между членами последовательности и отношения между ними.

1. Последовательность 1; 2; 4; 8;... Разности между членами последовательности: 2 - 1 = 1; 4 - 2 = 2; 8 - 4 = 4;... Как видно, разности равны 1, 2, 4, что образует геометрическую прогрессию с множителем 2. Таким образом, это геометрическая прогрессия.

2. Последовательность 1; 3; 5; 7;... Разности между членами последовательности: 3 - 1 = 2; 5 - 3 = 2; 7 - 5 = 2;... Как видно, разности равны постоянному значению 2, что образует арифметическую прогрессию. Таким образом, это арифметическая прогрессия.

3. Последовательность 1; 8; 27; 64;... Разности между членами последовательности: 8 - 1 = 7; 27 - 8 = 19; 64 - 27 = 37;... Как видно, разности не образуют постоянную последовательность, и они не являются постоянными множителями друг друга. Также, отношения между членами (8/1, 27/8, 64/27) также не образуют постоянную последовательность. Поэтому эта последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.

Итак, ответы:

1. Последовательность 1; 2; 4; 8;... - геометрическая прогрессия.
2. Последовательность 1; 3; 5; 7;... - арифметическая прогрессия.
3. Последовательность 1; 8; 27; 64;... - не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией.