Question

Докажите неравенство: 5x²+4xy+y²+2x>-5

Answer 1

Ответ:

(4х²+4ху+у²)+(х²+2х+1)+4=(2х+у)²+(х+1)²+4>0 ч. т. д.

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство путем разложения левой части выражения и анализа его свойств. Для этого нам пригодится знание о квадратичных формах и их графиках.

Исходное неравенство:

5x² + 4xy + y² + 2x > -5

Давайте сначала разложим левую часть неравенства:

5x² + 4xy + y² + 2x = (4x² + 4xy + x²) + y² + 2x = 4x(x + y) + (x² + y²) + 2x = 4x(x + y) + (x + y)²

Теперь у нас есть следующее выражение:

4x(x + y) + (x + y)² > -5

Теперь мы видим, что у нас есть квадратичная форма (x + y)² в данном выражении. Заметим, что (x + y)² всегда неотрицательно для всех значений x и y. Следовательно, (x + y)² > 0 для всех x и y, кроме случая, когда x = y = 0.

Теперь вернемся к неравенству:

4x(x + y) + (x + y)² > -5

Мы знаем, что (x + y)² > 0, так что можно убрать его из неравенства:

4x(x + y) > -5

Теперь разделим обе стороны на 4 (положительное число), не меняя знак неравенства:

x(x + y) > -5/4

Теперь у нас есть неравенство, которое верно для всех x и y, кроме случая, когда x = y = 0. Таким образом, данное неравенство доказано:

5x² + 4xy + y² + 2x > -5 для всех x и y, кроме x = y = 0.