Question

СРОЧНО! найдите точку минимума функции: у=7+8х- х^3/6 если можно прям подробно

Answer 1

Ответ:

$y=7+8x-\frac{x^3}{6}\\\\y'=8-\frac{1}{6}*3x^2=8-\frac{1}{2}x^2\\y'=0\\8-\frac{1}{2}x^2=0\\16-x^2=0\\(4-x)(4+x)=0\\x_1=4;\;\;\;x_2=-4\\\\-----[-4]+++++[4]-----$

Если производная меняет с "-" на "+" ⇒ в х=-4 - минимум

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции $у = 7 + 8x - \frac{x^3}{6}$ нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции $у$ по переменной $x$, чтобы найти точки, где производная равна нулю, так как минимум функции находится в точке, где производная меняет знак с отрицательного на положительный.

$у'(x) = \frac{d}{dx}(7 + 8x - \frac{x^3}{6})$

$у'(x) = 8 - \frac{x^2}{2}$

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

$0 = 8 - \frac{x^2}{2}$

$8 = \frac{x^2}{2}$

$16 = x^2$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$

Таким образом, у нас две критические точки: $x = 4$ и $x = -4$.

3. Чтобы определить, в какой из этих точек находится минимум, нам нужно провести вторую производную теста. Вычислим вторую производную:

$у''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(8 - \frac{x^2}{2})$

$у''(x) = -x$

4. Подставим значения $x$ во вторую производную для каждой из критических точек:

Для $x = 4$:

$у''(4) = -4$ (отрицательное значение)

Для $x = -4$:

$у''(-4) = 4$ (положительное значение)

5. По второй производной теста можно сделать вывод, что функция $у$ имеет локальный минимум в точке $x = -4$, так как вторая производная положительна в этой точке.

Теперь, чтобы найти значение функции в точке минимума, подставим $x = -4$ обратно в исходную функцию:

$у(-4) = 7 + 8(-4) - \frac{(-4)^3}{6}$

$у(-4) = 7 - 32 + \frac{64}{6}$

$у(-4) = 7 - 32 + 10.\frac{2}{3}$

$у(-4) = -25 + 10.\frac{2}{3}$

$у(-4) = -25 + \frac{20}{3}$

$у(-4) = -\frac{55}{3}$

Таким образом, точка минимума функции $у = 7 + 8x - \frac{x^3}{6}$ находится в точке $(x, у) = (-4, -\frac{55}{3})$.