Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(x)=x-√x на отрезке [0;4]

Answer 1

Ответ:

ОДЗ:

x≥0

Найдём критические точки(точки, производная в которых равна нулю):

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x - \sqrt{x}$ на отрезке $[0, 4]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$.
2. Найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует, на отрезке $[0, 4]$.
3. Оцените значение функции $f(x)$ в этих критических точках, а также на границах интервала $[0, 4]$.
4. Из найденных значений выберите наибольшее и наименьшее.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную $f'(x)$:

$f(x) = x - \sqrt{x}$ $f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. Теперь найдем критические точки, где $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует.

$1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$

Решим уравнение для $x$:

$1 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$2\sqrt{x} = 1$

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{4}$

Это единственная критическая точка на отрезке $[0, 4]$.

3. Теперь оценим значения функции $f(x)$ в этой критической точке и на границах интервала:

a) $f(0)$:

$f(0) = 0 - \sqrt{0} = 0$

b) $f\left(\frac{1}{4}\right)$:

$f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$

c) $f(4)$:

$f(4) = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$

4. Из найденных значений выберем наибольшее и наименьшее:

Наименьшее значение функции на отрезке $[0, 4]$ равно $-\frac{1}{4}$ и достигается в точке $x = \frac{1}{4}$.

Наибольшее значение функции на отрезке $[0, 4]$ равно $2$ и достигается в точке $x = 4$.

Итак, наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[0, 4]$ равно $-\frac{1}{4}$, а наибольшее значение равно $2$.