Question

Используя определение производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции (1/3)*корень из 3(x+1)^2

Answer 1

Ответ:

$\frac{2}{9 \sqrt[3]{ x+ 1} }$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $\frac{1}{3}\sqrt{3(x+1)^2}$ с использованием определения производной, давайте воспользуемся определением производной функции $f(x)$ в точке $a$:

$f'(a) = \lim_{{h \to 0}}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

В данном случае, $f(x) = \frac{1}{3}\sqrt{3(x+1)^2}$. Мы хотим найти производную в какой-то конкретной точке $a$, поэтому давайте вычислим производную в точке $a$ с использованием этого определения. Сначала найдем $f(a)$:

$f(a) = \frac{1}{3}\sqrt{3(a+1)^2}$

Теперь вычислим $f(a+h)$:

$f(a+h) = \frac{1}{3}\sqrt{3(a+h+1)^2}$

Теперь мы можем найти разность $f(a+h) - f(a)$:

$f(a+h) - f(a) = \frac{1}{3}\sqrt{3(a+h+1)^2} - \frac{1}{3}\sqrt{3(a+1)^2}$

Теперь мы можем вычислить производную в точке $a$ как предел этой разности при $h \to 0$:

$f'(a) = \lim_{{h \to 0}}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{3}\sqrt{3(a+h+1)^2} - \frac{1}{3}\sqrt{3(a+1)^2}\right)$

Теперь мы можем упростить это выражение и вычислить предел. Сначала вынесем константы за предел:

$f'(a) = \frac{1}{3}\lim_{{h \to 0}}\frac{1}{h}\left(\sqrt{3(a+h+1)^2} - \sqrt{3(a+1)^2}\right)$

Теперь давайте упростим разность под корнем:

$f'(a) = \frac{1}{3}\lim_{{h \to 0}}\frac{1}{h}\sqrt{3((a+h+1)^2 - (a+1)^2)}$

Теперь выразим разность квадратов:

$f'(a) = \frac{1}{3}\lim_{{h \to 0}}\frac{1}{h}\sqrt{3((a^2 + 2ah + h^2 + 2a + 2h + 1) - (a^2 + 2a + 1))}$