Question

Комплексные числа.(2-3i)^(-2)=?

Answer 1

Ответ:

$\boxed {\ i^2=-1\ }\\\\(2-3i)^2=4-12i+9i^2=4-12i-9=-5-12i$

Answer 2

Чтобы возвести комплексное число в отрицательную степень, вы можете воспользоваться следующей формулой для деления комплексных чисел:

$z^{-n} = \frac{1}{z^n},$

где $z$ - ваше комплексное число, а $n$ - степень, в которую вы хотите возвести $z$.

Давайте применим эту формулу к вашему числу $2 - 3i$ и степени $-2$:

$(2 - 3i)^{-2} = \frac{1}{(2 - 3i)^2}.$

Теперь возводим $2 - 3i$ в квадрат:

$(2 - 3i)^2 = (2 - 3i)(2 - 3i) = 4 - 12i + 9i^2.$

Здесь мы использовали свойство $i^2 = -1$.

Теперь подставим это значение обратно в нашу исходную формулу:

$\frac{1}{(2 - 3i)^2} = \frac{1}{4 - 12i + 9(-1)}.$

Продолжим упрощать:

$\frac{1}{4 - 12i - 9} = \frac{1}{-5 - 12i}.$

Чтобы избавиться от комплексного знаменателя, умножим числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число, то есть на $-5 + 12i$:

$\frac{1}{-5 - 12i} \cdot \frac{-5 + 12i}{-5 + 12i} = \frac{-5 + 12i}{(-5)^2 - (12i)^2}.$

Снова используем свойство $i^2 = -1$:

$\frac{-5 + 12i}{25 - 144} = \frac{-5 + 12i}{-119}.$

Теперь можно разделить числитель на знаменатель:

$\frac{-5 + 12i}{-119} = \frac{5}{119} - \frac{12i}{119}.$

Таким образом,

$(2 - 3i)^{-2} = \frac{5}{119} - \frac{12i}{119}.$