Question

Исследовать на вогнутость выпуклость и точки перегиба функции y= x^3-3x^2+1

Answer 1

$\displaystyle y=x^3-3x^2+1$

Первая производная показывает точки экстремума функции

найдем производную

$\displaystyle y`=3x^2-6x\\\\y`=0\\\\3x(x-2)=0\\\\x=0; x=2$

исследуем точки

знак производной  ___+_____ 0_______2_+____

                                -возрастает/ убывает/ возрастает

Значит данная функция имеет точку х=0 - точку максимума

и точку х= 2 - точку минимума

найдем теперь вторую производную

$\displaystyle y``= 6x-6=6(x-1)\\\\y``=0\\\\6(x-1)=0\\\\x=1$

исследуем данную точку

знак производной  __+___ 1 ___-___                  

                                вогнутая/ выпуклая

Значит точка х=1 точка перегиба функции

график на рисунке

Answer 2

Для исследования на вогнутость, выпуклость и точки перегиба функции y = x^3 - 3x^2 + 1, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую и вторую производные функции.
2. Найдите точки, в которых первая производная равна нулю, чтобы найти экстремумы и точки перегиба.
3. Используйте вторую производную, чтобы определить характер точек (вогнутость и выпуклость).

Шаг 1: Найдем первую и вторую производные функции.

Функция: y = x^3 - 3x^2 + 1

Первая производная (по правилу степеней и суммы производных): y' = 3x^2 - 6x

Вторая производная: y'' = 6x - 6

Шаг 2: Найдем точки, в которых первая производная равна нулю:

3x^2 - 6x = 0

Вынесем общий множитель 3x: 3x(x - 2) = 0

Это уравнение имеет два корня:

1. x = 0
2. x = 2

Теперь мы знаем, что у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 2.

Шаг 3: Определим характер точек (вогнутость и выпуклость) с помощью второй производной:

a) Для x = 0: y''(0) = 6 * 0 - 6 = -6 Поскольку вторая производная отрицательна, это означает, что точка x = 0 является точкой максимума (вогнутой).

b) Для x = 2: y''(2) = 6 * 2 - 6 = 6 Поскольку вторая производная положительна, это означает, что точка x = 2 является точкой минимума (выпуклой).

Итак, исследование на вогнутость, выпуклость и точки перегиба показывает следующее:

• Точка x = 0 - точка максимума (вогнутая).
• Точка x = 2 - точка минимума (выпуклая).

Эти результаты позволяют нам понять, как функция меняет свой характер в различных областях и точках на графике.