Question

Помогите, пожалуйста, исследовать на выпуклость и вогнутость, найти точку перегиба функции: y = x⁴/(1+x³)

Answer 1

Решение смотрите в приложении

Answer 2

Исследование на выпуклость и вогнутость

Для исследования на выпуклость и вогнутость функции y = x⁴/(1+x³), мы можем использовать вторую производную функции. Если вторая производная положительна, то функция выпуклая, если отрицательна - функция вогнутая.

Давайте найдем первую и вторую производные функции и проанализируем их знаки.

Нахождение первой производной

Для нахождения первой производной функции y = x⁴/(1+x³), мы можем использовать правило дифференцирования частного функций.

Пусть f(x) = x⁴ и g(x) = 1+x³. Тогда первая производная функции y = x⁴/(1+x³) будет равна:

y' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))².

Вычислим первую производную:

f'(x) = 4x³, g'(x) = 3x², f(x) = x⁴, g(x) = 1+x³.

Подставим значения в формулу первой производной:

y' = (4x³(1+x³) - x⁴(3x²))/(1+x³)².

Упростим выражение:

y' = (4x³ + 4x⁶ - 3x⁶)/(1+x³)².

y' = (x³ + 4x⁶)/(1+x³)².

Нахождение второй производной

Для нахождения второй производной функции y = x⁴/(1+x³), мы можем продифференцировать первую производную по переменной x.

Вычислим вторую производную:

y'' = (d/dx)((x³ + 4x⁶)/(1+x³)²).

y'' = ((d/dx)(x³ + 4x⁶)(1+x³)² - (x³ + 4x⁶)(d/dx)(1+x³)²)/(1+x³)⁴.

y'' = ((3x² + 24x⁵)(1+x³)² - (x³ + 4x⁶)(2(1+x³)(3x²)))/(1+x³)⁴.

y'' = (3x² + 24x⁵)(1+x³)² - 2x³(1+x³)(3x²) - 8x⁶(1+x³))/(1+x³)⁴.

y'' = (3x² + 24x⁵)(1+x³)² - 6x⁵(1+x³) - 8x⁶(1+x³))/(1+x³)⁴.

y'' = (3x² + 24x⁵ + 3x⁵ + 3x⁸ - 6x⁵ - 6x⁸ - 8x⁶ - 8x⁹))/(1+x³)⁴.

y'' = (3x² + 18x⁵ - 3x⁸ - 8x⁶ - 8x⁹))/(1+x³)⁴.

Анализ знаков первой и второй производных

Теперь, когда у нас есть выражения для первой и второй производных, мы можем проанализировать их знаки и определить, является ли функция выпуклой или вогнутой.

Знак первой производной:

y' = (x³ + 4x⁶)/(1+x³)².

Знаменатель (1+x³)² всегда положителен, поэтому знак первой производной будет таким же, как знак числителя (x³ + 4x⁶).

Чтобы определить знак числителя, мы можем проанализировать знаки каждого слагаемого по отдельности.

- Слагаемое x³ всегда неотрицательно. - Слагаемое 4x⁶ всегда неотрицательно.

Таким образом, числитель (x³ + 4x⁶) всегда неотрицателен, и следовательно, первая производная y' всегда неотрицательна.

Знак второй производной:

y'' = (3x² + 18x⁵ - 3x⁸ - 8x⁶ - 8x⁹))/(1+x³)⁴.

Знаменатель (1+x³)⁴ всегда положителен, поэтому знак второй производной будет таким же, как знак числителя (3x² + 18x⁵ - 3x⁸ - 8x⁶ - 8x⁹).

Анализируя знаки каждого слагаемого по отдельности:

- Слагаемое 3x² всегда неотрицательно. - Слагаемое 18x⁵ может быть положительным или отрицательным, в зависимости от значения x. - Слагаемое -3x⁸ всегда отрицательно. - Слагаемое -8x⁶ может быть положительным или отрицательным, в зависимости от значения x. - Слагаемое -8x⁹ всегда отрицательно.

Таким образом, числитель (3x² + 18x⁵ - 3x⁸ - 8x⁶ - 8x⁹) может быть положительным или отрицательным, в зависимости от значения x.

Определение точки перегиба

Точка перегиба функции находится в тех точках, где вторая производная меняет знак. Давайте найдем эти точки, приравняв вторую производную к нулю и решив уравнение:

(3x² + 18x⁵ - 3x⁸ - 8x⁶ - 8x⁹) = 0.

К сожалению, я не могу решить это уравнение аналитически, так как оно имеет сложную форму. Однако, вы можете использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенные значения точек перегиба.

Вывод

Исследовав первую и вторую производные функции y = x⁴/(1+x³), мы определили, что первая производная всегда неотрицательна, а вторая производная может быть положительной или отрицательной, в зависимости от значения x. Это означает, что функция является выпуклой на некоторых интервалах и вогнутой на других интервалах. Чтобы найти точки перегиба, необходимо решить уравнение (3x² + 18x⁵ - 3x⁸ - 8x⁶ - 8x⁹) = 0 численными методами.