Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x^2 , y = 2/x и x=e , y = 0

Answer 1

Объяснение:

$y=2x^2\ \ \ \ y=\frac{2}{x} \ \ \ \ x=e\ \ \ \ y=0\ \ \ \ S=?\\2x^2=0\ |:2 \ \ \ \Rightarrow\\x^2=0\\x_1=0.\\2x^2=\frac{2}{x}\ |:2\\x^2=\frac{1}{x}\\x^3=1\\x_2=1. \ \ \ \ \Rightarrow\\S=\int\limits^1_0 {(2x^2+0)} \, dx +\int\limits^e_1 {(\frac{2}{x} -0)} \, dx=\int\limits^1_0 {2x^2} \, dx+\int\limits^e_1 {\frac{2}{x} } \, dx =\frac{2x^3}{3}\ |_0^1+2*lnx\ |_1^e=\\=\frac{2*1^3}{3}-\frac{2*0^3}{3} +2* lne-2*0=\frac{2}{3} -0+2-0=2\frac{2}{3} .$

Ответ: S=2,66667 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 2x^2, y = 2/x, x = e и y = 0, мы сначала найдем точки их пересечения.

1. Найдем точки пересечения графиков y = 2x^2 и y = 2/x: 2x^2 = 2/x Умножим обе стороны на x: 2x^3 = 2 Теперь поделим обе стороны на 2: x^3 = 1 Возведем обе стороны в кубическую корень: x = 1

   Таким образом, точка пересечения графиков y = 2x^2 и y = 2/x - это x = 1.

2. Теперь у нас есть точка пересечения x = 1. Мы можем найти соответствующие значения y для этой точки на обоих графиках: Для графика y = 2x^2: y = 2 * 1^2 = 2 Для графика y = 2/x: y = 2/1 = 2

Таким образом, точка пересечения имеет координаты (1, 2) на обоих графиках.

3. График x = e - это вертикальная линия, которая проходит через x = e и параллельна оси y. Мы будем рассматривать только участок графика, который находится между x = 1 и x = e.

Теперь мы имеем все необходимые сведения для вычисления площади фигуры между этими графиками. Площадь можно найти как интеграл разницы между y = 2/x и y = 2x^2 от x = 1 до x = e:

Площадь = ∫[1, e] (2/x - 2x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = [2ln(x) - (2/3)x^3] | от 1 до e Площадь = [2ln(e) - (2/3)e^3] - [2ln(1) - (2/3)*1^3] Площадь = [2 - (2/3)e^3]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками y = 2x^2, y = 2/x, x = e и y = 0, равна 2 - (2/3)e^3.