Question

Проинтегрировать по частям: 1) ∫ xcosxdx 2) ∫ (1+2x) cosxdx 3) ∫ xeˣdx

Answer 1

Ответ:

===============================

Объяснение:

Answer 2

Для интегрирования по частям используется формула:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это части вашей функции, которые вы выбираете.

1. ∫ xcos(x) dx:

Выберем u = x и dv = cos(x) dx. Тогда du = dx и v = ∫cos(x) dx = sin(x).

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫x cos(x) dx = x sin(x) - ∫sin(x) dx.

Интегрируем ∫sin(x) dx:

∫sin(x) dx = -cos(x) + C1,

где C1 - константа интегрирования.

Подставляем обратно:

x sin(x) - (-cos(x) + C1) = x sin(x) + cos(x) + C1.

2. ∫ (1+2x) cos(x) dx:

Выберем u = 1 + 2x и dv = cos(x) dx. Тогда du = 2 dx и v = ∫cos(x) dx = sin(x).

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫(1+2x) cos(x) dx = (1 + 2x) sin(x) - ∫2sin(x) dx.

Интегрируем ∫2sin(x) dx:

∫2sin(x) dx = -2cos(x) + C2,

где C2 - константа интегрирования.

Подставляем обратно:

(1 + 2x)sin(x) - (-2cos(x) + C2) = (1 + 2x)sin(x) + 2cos(x) + C2.

3. ∫ xe^x dx:

Выберем u = x и dv = e^x dx. Тогда du = dx и v = ∫e^x dx = e^x.

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫xe^x dx = x * e^x - ∫e^x dx.

Интегрируем ∫e^x dx:

∫e^x dx = e^x + C3,

где C3 - константа интегрирования.

Подставляем обратно:

x * e^x - (e^x + C3) = x * e^x - e^x - C3.