Question

Дано a>3 Довести a+1/a-3≥5​

Answer 1

Розв'язання завдання додаю. 2 способи

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство и попробуем его доказать:

a + 1/(a - 3) ≥ 5

Для начала, выразим общий знаменатель для двух слагаемых слева:

(a(a - 3) + 1) / (a - 3) ≥ 5

Теперь умножим обе стороны неравенства на (a - 3), при условии, что (a - 3) положительно (что верно, так как a > 3):

(a(a - 3) + 1) ≥ 5(a - 3)

Раскроем скобки:

a^2 - 3a + 1 ≥ 5a - 15

Теперь приведем все слагаемые на одну сторону:

a^2 - 3a + 1 - 5a + 15 ≥ 0

Упростим:

a^2 - 8a + 16 ≥ 0

Теперь давайте решим это квадратное неравенство. Мы видим, что это квадратное уравнение имеет единственный корень a = 4 (поскольку дискриминант равен нулю). Таким образом, точка a = 4 является корнем уравнения a^2 - 8a + 16 = 0.

Теперь давайте рассмотрим интервалы:

1. Если a < 4, то a^2 - 8a + 16 > 0, так как у нас есть квадратный член с положительным коэффициентом. То есть неравенство выполняется для всех a < 4.

2. Если a > 4, то a^2 - 8a + 16 > 0, так как у нас есть квадратный член с положительным коэффициентом. То есть неравенство выполняется для всех a > 4.

3. Если a = 4, то a^2 - 8a + 16 = 0, и неравенство также выполняется при a = 4.

Итак, неравенство a + 1/(a - 3) ≥ 5 выполняется для всех значений a, удовлетворяющих условию a > 3.