Question

4. Чи є функція F(x) первісною для функці f(x) на (- + бесконечность) 1) F(x) = x^4 — 5х + 7, f(x) = 4х^3 – 5;2) F( x) =2x, f(x) =-2 cos2x​

Answer 1

1) первісна для f(x)= 4х^3 – 5 ,буде F(x)-=x^4-5x+C .Отже, F(x) = x^4 — 5х + 7 є первісною для  f(x) = 4х^3 – 5.

2) первісна для f(x) =-2 cos2x​ буде F(x) =-2cos 2xx+C . Отже,)F( x) =2x не є первісною для f(x) =-2 cos2x​ . Первісна для  f(x) =-2 cos2x є F(x) =-2cos 2xx+C

(Щоб знайти первісну використовуємо таблицю первісних )  

Answer 2

1. Для перевірки, чи є функція F(x) первісною для функції f(x) на (-∞, +∞), спершу визначимо первісну функції f(x).

Для f(x) = 4x^3 - 5, знайдемо його первісну F(x):

F(x) = ∫(4x^3 - 5) dx F(x) = (4/4)x^4 - (5x) + C F(x) = x^4 - 5x + C

Тепер, коли у нас є вираз для F(x), ми можемо побачити, чи він є первісною для f(x). Для цього ми можемо взяти похідну від F(x) і перевірити, чи вона дорівнює f(x):

F'(x) = d/dx (x^4 - 5x + C) F'(x) = 4x^3 - 5

Отже, F(x) = x^4 - 5x + C є первісною для f(x) = 4x^3 - 5 на (-∞, +∞).

2. Для f(x) = -2cos(2x), знайдемо його первісну F(x):

F(x) = ∫(-2cos(2x)) dx

Для знаходження цієї первісної, ми повинні використовувати інтеграл від косинуса:

F(x) = -2∫cos(2x) dx

Інтегрування cos(2x) відносно x дає:

F(x) = -2(1/2)sin(2x) + C F(x) = -sin(2x) + C

Тепер, коли у нас є вираз для F(x), ми можемо перевірити, чи він є первісною для f(x). Для цього ми можемо взяти похідну від F(x) і перевірити, чи вона дорівнює f(x):

F'(x) = d/dx (-sin(2x) + C) F'(x) = -2cos(2x)

Отже, F(x) = -sin(2x) + C є первісною для f(x) = -2cos(2x) на (-∞, +∞).