Question

Запишіть формулу вn члена геометричної прогресії, якщо в3 +в5 =180 і в1 +в3 =20.

Answer 1

Ответ:

$></p> <p></p> <p><img src=$

$\left\{\begin{array}{l}9=q^2\\1+9=\dfrac{20}{b_1}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}q=\pm 3\\\\b_1=2\end{array}\right\ \ \ \ \Rightarrow \\\\\\a)\ \ q=-3\ ,\ b_1=2\\\\b_{n}=b_1\cdot q^{n-1}\ \ ,\ \ \ b_{n}=2\cdot (-3)^{n-1}=(-1)^{n-1}\cdot 2\cdot 3^{n-1}\\\\b)\ \ q=3\ \ ,\ \ b_1=2\\\\b_{n}=2\cdot 3^{n-1}\\\\Otvet:\ \ b_{n}=(-1)^{n-1}\cdot 2\cdot 3^{n-1}\ \ ,\ \ b_{n}=2\cdot 3^{n-1}\ .$

Answer 2

Для знаходження формули для n-го члена геометричної прогресії (в n), нам потрібно знайти значення першого члена (в₁) та знайти збільшення (знаменник) прогресії (р).

Ми маємо такі відомі дані:

1. в₃ + в₅ = 180
2. в₁ + в₃ = 20

Спершу знайдемо в₁ та розв'яжемо систему рівнянь для знаходження р.

З формули для n-го члена геометричної прогресії відомо, що:

вₙ = в₁ * р^(n-1)

Розглянемо відомі дані:

1. в₃ + в₅ = 180
2. в₁ + в₃ = 20

Тепер використаємо вираз для вₙ:

в₅ = в₁ * р^4

в₃ = в₁ * р^2

Тепер підставимо ці вирази у перше рівняння:

в₃ + в₅ = 20 + в₁ * р^2 + в₁ * р^4 = 180

Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно в₁ * р^2:

в₁ * р^4 + в₁ * р^2 - 160 = 0

Тепер розв'яжемо це рівняння відносно в₁ * р^2 за допомогою квадратного рівняння:

Для знаходження коренів рівняння ми можемо використовувати дискримінант (D):

D = b² - 4ac

де a = 1, b = 1, c = -160:

D = 1² - 4 * 1 * (-160) = 1 + 640 = 641

Тепер знайдемо корені рівняння:

р² = (-b ± √D) / (2a)

р² = (-1 ± √641) / (2 * 1)

р² = (-1 ± √641) / 2

Тепер, маючи значення р, ми можемо знайти в₁:

в₁ = (20 - в₃) / р²

в₁ = (20 - в₁ * р^2) / р²

в₁ * р² = 20 - в₁ * р^2

в₁ * р^2 + в₁ * р^2 = 20

2 * в₁ * р^2 = 20

в₁ * р^2 = 10

в₁ = 10 / р²

Тепер, маючи значення в₁ та р, ми можемо записати формулу для n-го члена геометричної прогресії:

вₙ = в₁ * р^(n-1)

вₙ = (10 / р²) * р^(n-1)

вₙ = 10 * р^(n-1) / р²

Отже, формула для n-го члена геометричної прогресії в залежності від в₁ та р:

вₙ = 10 * р^(n-1) / р²