Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА !!! Упростить выражение (брать основные тригонометрические формулы) (sina + cosa)/ (1/sina+1/cosa)

Answer 1

$\displaystyle\frac{sina+cosa}{\frac{1}{sina}+\frac{1}{cosa}}=\frac{sina+cosa}{\frac{cosa+sina}{sina*cosa}}=\frac{sina*cosa*(sina+cosa)}{cosa+sina}=sina*cosa*\frac{2}{2}=\\\\=\frac{1}{2}sin(2a)$

Answer 2

Чтобы упростить данное выражение с использованием основных тригонометрических формул, мы можем воспользоваться следующими идеями:

1. Тригонометрическая формула сложения углов:

   $$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

2. Обратные тригонометрические функции:

   $$\frac{1}{\sin x} = \csc x \quad \text{и} \quad \frac{1}{\cos x} = \sec x$$

Используя эти формулы, преобразуем выражение:

$$\frac{\sin a + \cos a}{\frac{1}{\sin a} + \frac{1}{\cos a}}$$

Теперь преобразуем дроби в числителе и знаменателе:

$$\frac{\sin a + \cos a}{\frac{\cos a + \sin a}{\sin a \cos a}}$$

Умножаем числитель и знаменатель на $\sin a \cos a$:

$$\frac{(\sin a + \cos a) \cdot (\sin a \cos a)}{\cos a + \sin a}$$

Раскрываем скобки в числителе:

$$\frac{\sin^2 a \cos a + \cos^2 a \sin a}{\cos a + \sin a}$$

Теперь можем воспользоваться формулой сложения углов для $\sin^2 a + \cos^2 a$, которая равна 1:

$$\frac{\sin a \cos a (\sin a + \cos a)}{\cos a + \sin a}$$

Теперь заметим, что $\sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a$, и преобразуем выражение:

$$\frac{\frac{1}{2} \sin 2a (\sin a + \cos a)}{\cos a + \sin a}$$

Теперь можно сократить на $\sin a + \cos a$:

$$\frac{\frac{1}{2} \sin 2a}{1} = \frac{1}{2} \sin 2a$$

Итак, упрощенное выражение равно $\frac{1}{2} \sin 2a$.